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第一章 数学模型 1

1.1 引言 1

1.2 经典方程 2

1.3 弦振动 2

1.4 膜振动 5

1.5 固体中的热传导 7

1.6 扩散问题 9

1.7 静电场的位势 10

1.8 电报方程 12

1.9 定解条件与定解问题 14

第一章 习题 19

2.1 二阶线性偏微分方程 21

第二章 二阶线性偏微分方程的分类 21

2.2 二阶线性方程的分类与化简 22

2.3 常系数方程化归标准形 26

2.4 通解 34

2.5 概述与进一步化简 36

第二章 习题 38

第三章 柯西问题 40

3.1 齐次波动方程的柯西问题 40

3.2 初始-边值问题 50

3.3 非齐次波动方程的柯西问题 54

3.4 关于双曲型方程柯西问题的提法 58

3.5 双曲型方程的特征初值问题 63

3.6 三维波动方程的柯西问题 66

3.7 降维法 71

3.8 高维波动方程柯西问题解的物理意义 74

第三章 习题 77

第四章 正交函数系及一般展开概念 80

4.1 正交函数系概念 80

4.2 函数的展开问题 86

4.3 一些简单正交系的例子 87

4.4 正交系的完备性 92

4.5 双变量正交系·二重富里叶级数 97

4.6 对x和y具有不同周期的函数的二重富里叶级数 105

第四章 习题 108

第五章 分离变量法 110

5.1 分离变量法的基本思想 110

5.2 变量的分离 112

5.3 弦振动问题 116

5.4 弦振动问题解的存在性与唯一性 122

5.5 热传导问题 130

5.6 热传导问题解的存在性与唯一性 133

5.7 拉普拉斯方程与梁的方程 137

5.8 非齐次问题 142

5.9 非齐次方程的固有函数法 145

5.10 非齐次边界条件的处理 150

5.11 有限富氏变换 156

第五章 习题 162

第六章 固有值问题与特殊函数 169

6.1 施图姆-刘维叶系 169

6.2 固有函数 174

6.3 贝塞尔函数 180

6.4 勒让德函数 195

6.5 爱尔密特多项式与拉盖尔多项式 202

第六章 习题 211

第七章 边值问题 214

7.1 边值问题 214

7.2 最大值和最小值原理 217

7.3 唯一性和稳定性定理 218

7.4 圆的狄利克雷问题 220

7.5 圆环的狄利克雷问题 226

7.6 圆的诺伊曼问题 227

7.7 矩形的狄利克雷问题 230

7.8 布阿松方程的狄利克雷问题 234

7.9 矩形的诺伊曼问题 236

第七章 习题 241

8.1 立方体的狄利克雷问题 248

第八章 高维问题 248

8.2 圆柱体的狄利克雷问题 250

8.3 球的狄利克雷问题 254

8.4 波动与热传导方程 260

8.5 膜振动 261

8.6 矩形板中的热传导 263

8.7 三维波动问题 265

8.8 长方体中的热传导 267

8.9 氢原子 268

8.10 膜的强迫振动 272

8.11 非定常边界条件 275

第八章 习题 280

第九章 格林函数法 285

9.1 格林公式 285

9.2 δ-函数 287

9.3 格林函数 290

9.4 格林函数法 293

9.5 拉普拉斯算子的狄利克雷问题 295

9.6 亥姆霍兹算子的狄利克雷问题 299

9.7 镜象法 301

9.8 固有函数法 305

9.9 高维问题 307

9.10 诺伊曼问题 311

第九章 习题 315

第十章 积分变换 317

10.1 富里叶变换 317

10.2 富氏变换的性质 324

10.3 卷积的富氏变换 329

10.4 阶梯函数与脉冲函数的富氏变换 332

10.5 半无穷区域 336

10.6 多变量函数的富氏变换 338

10.7 拉普拉斯变换 340

10.8 拉氏变换的性质 342

10.9 卷积的拉氏变换 348

10.10 阶梯函数和脉冲函数的拉氏变换 351

10.11 格林函数 360

第十章 习题 366

典型例题详解与习题答案 369

附录 437

附录1 Γ-函数 437

附录2 富氏变换表 441

附录3 拉氏变换表 443