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第一章 广义函数 1

1 Lp 空间 1

1.1 Lp 空间的定义和基本性质 1

1.2 卷积 3

1.3 单位分解 10

2 基本空间 12

2.1 基本空间?(Ω)和?(Ω) 12

2.2 基本空间? 14

2.3 稠密性和完备性 17

3 广义函数空间 18

3.1 广义函数的定义 18

3.2 广义函数的导数 20

3.3 广义函数的极限 22

3.4 广义函数的乘子与缓增广义函数 24

3.5 广义函数的支集与具紧支集的广义函数 27

4 广义函数的卷积 30

4.1 函数和广义函数的卷积 30

4.2 两个广义函数的卷积 33

5 广义函数的 Fourier 变换 36

5.1 急减函数的 Fourier 变换 37

5.2 缓增广义函数的 Fourier 变换 41

5.3 具紧支集的广义函数的 Fourier 变换 44

5.4 L2(Rn) 上的 Fourier 变换 44

6 常系数偏微分算子的基本解 48

6.1 基本解的存在性 48

6.2 几个典型的数学物理方程的基本解 52

1 整指数 Sobolev 空间 58

1.1 非负整指数 Sobolev 空间 58

第二章 Sobolev 空间 58

1.2 负整指数 Sobolev 空间 60

1.3 Poincare 不等式与等价范数 62

1.4 可延拓的有界区域 64

2 实指数 Sobolev 空间 65

2.1 定义 65

2.2 对偶性 67

2.3 乘积运算 70

3 嵌入定理 73

1 二阶椭圆型方程的 Dirichlet 问题 78

1.1 Dirichlet 问题的广义解的定义 78

第三章 二阶线性偏微分方程 78

1.2 Lax-Milgram 定理 80

1.3 Garding 不等式 85

1.4 Dirichlet 问题的可解性 86

1.5 广义解的正则性 88

2 C0 半群 96

2.1 C0 半群的定义 97

2.2 无穷小生成元 98

2.3 Hille-Yosida 定理 100

2.4 发展方程的 Cauchy 问题 105

3 二阶抛物型方程的混合问题 107

4 二阶双曲型方程的混合问题 108

第四章 拟微分算子的基本理论 113

1 拟微分算子的定义 113

2 振荡积分与拟微分算子的基本性质 118

2.1 振荡积分 118

2.2 拟微分算子的基本性质 120

2.3 适当支拟微分算子 129

3 拟微分算子的代数 132

3.1 象征的渐近展开 132

3.2 拟微分算子的复合 143

3.3 拟微分算子的代数 147

4 有界性定理与 Garding 不等式 149

5 一类拟微分算子 157

第五章 拟微分算子的应用 159

1 拟基本解 159

1.1 拟基本解的定义 159

1.2 椭圆型拟微分算子的拟基本解 159

1.3 椭圆型拟微分算子的内正则性 162

2 强椭圆型方程的 Dirichlet 问题 163

2.2 强椭圆型方程的 Dirichlet 问题的可解性 164

2.1 强椭圆型偏微分算子的定义 164

2.3 广义解的正则性 166

3 抛物型方程的混合问题 168

4 严格双曲型方程的 Cauchy 问题 169

4.1 严格双曲型算子的定义 169

4.2 化为一阶方程组 171

4.3 能量不等式 173

4.4 Fichera 定理 176

4.5 Cauchy 问题的解的存在性、 唯一性和正则性 178

参考书目 182