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第一编 泛函分析 3

第一章 预备知识 3

1.1 实数及其完备性 3

1.2 集合及其运算 10

1.3 可列集 13

1.4 实轴上的开集和闭集 18

1.5 勒贝格测度 23

1.6 可测函数 35

1.7 勒贝格积分 39

1.8 常用的不等式 45

习题 49

第二章 距离空间 52

2.1 距离空间 52

2.2 距离空间中的开集和闭集 58

2.3 稠密性与可分性 60

2.4 距离空间的完备性 64

2.5 不动点原理及其应用 70

2.6 列紧性 81

2.7 函数列的一个收敛性问题 84

习题 87

第三章 赋范线性空间与线性算子 90

3.1 线性空间与赋范线性空间 90

3.2 不同范数的等价性 96

3.3 有限维赋范线性空间 98

3.4 有界线性算子 107

3.5 有界线性算子空间 118

3.6 某些函数空间上的有界线性泛函 123

3.7 几个重要定理 126

3.8 有界线性算子的正则集与谱 134

习题 137

4.1 基本概念和基本定理 140

第四章 希尔伯特空间 140

4.2 正交与正交分解 147

4.3 内积空间中的标准正交系 151

4.4 希尔伯特空间的自共轭性与自共轭算子 161

习题 168

第二编 变分法 173

第五章 变分概念与变分法基本引理 173

5.1 变分问题的几个实例 173

5.2 变分概念 177

5.3 变分法基本引理 182

习题 183

第六章 固定边界的变分问题 185

6.1 最简单情况下的Euler方程 185

6.2 含有多个未知函数的变分问题 192

6.3 依赖于未知函数的高阶导数的变分问题 195

6.4 依赖于多元函数的泛函 199

6.5 呈参数形式的变分问题 203

习题 206

第七章 可动边界的变分问题 210

7.1 最简单的可动边界问题 210

7.2 ？F(x，y，z，y1，z1)dx型泛函的可动边界问题 217

7.3 ？F(x，y，y1，y11)dx型泛函的可动边界问题 223

习题 226

第八章 条件极值的变分问题 228

8.1 附有约束条件φ=0的变分问题 228

8.2 等周问题 237

习题 243

第九章 变分问题中的直接方法 245

9.1 里兹法 245

9.2 康托罗维奇法 249

习题 253

习题答案与提示 255

参考文献 286