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绪论—现代数学的特点和意义 1

一、现代数学是数学发展的新阶段 1

二、现代数学的特点 2

三、普及现代数学教育的意义 12

第一章 集合与映射 15

1 逻辑命题及其相反命题的表述 15

2 集合及其运算 17

3 二元关系 21

4 映射 23

5 序结构 26

6 实数集 30

7 集合的势 34

8 数学系统和其同构 42

习题一 43

第二章 代数系统 46

1 代数运算及一些常见的运算律 46

2 一些常见的代数系统 48

3 线性空间 56

4 线性算子与线性泛函 61

5 张量空间 67

6 外积和外代数 71

习题二 80

第三章 拓扑空间和距离空间 84

1 拓扑空间 84

2 距离空间 88

3 拓扑空间中的各种点集 93

4 拓扑空间中的收敛 101

5 连续映射和同胚映射 107

6 拓扑空间中的连通性 110

7 完备距离空间 114

8 紧集和列紧集 124

9 距离空间上的函数族 132

习题三 138

第四章 测度与积分 141

1 可测空间与测度空间 141

2 外测度及由它导出的测度 145

3 Rn上的勒贝格测度 149

4 可测函数 153

5 可测函数的积分 159

6 R上的黎曼积分和勒贝格积分 169

7 L空间和L2空间 173

习题四 179

第五章 拓扑线性空间 181

1 基本数学结构的复合 181

2 拓扑线性空间 182

3 距离线性空间 184

4 赋范空间 186

5 内积空间 193

6 赋范空间中的有界线性算子 200

7 赋范空间的微分学 206

8 广义函数 225

9 欧氏空间Rn中的张量 234

习题五 240

第六章 Banach空间及其上的算子 244

1 有限维赋范空间 244

2 开映照定理和闭图定理 248

3 有界线性泛函的延拓定理 253

4 有界线性算子序列 258

5 赋范空间中的伴随算子 263

6 有界线性算子的正则点和谱点 266

7 全连续线性算子 270

8 全连续线性算子方程 277

习题六 288

第七章 Hilbert空间及其上的算子 291

1 正交集和广义富氏级数 291

2 Hilbert空间的正交分解和正交归一基 296

3 Hilbert空间的对偶空间和伴随算子 303

4 Hilbert空间的自伴线性算子 308

5 全连续自伴线性算子方程 314

6 对线性积分方程的应用 320

习题七 324

第八章 流形上的微积分 327

1 流形 327

2 微分流形 333

3 流形在欧氏空间中的嵌入 336

4 流形上的切空间、余切空间 340

5 流形上的微分形式 346

6 微分形式的外微分 353

7 微分流形的定向 362

8 流形上微分形式的积分 367

9 广义Stokes公式 375

习题八 384

参考书目 388