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绪论 1

第一章 复数与复变函数 4

1 复数及其代数运算 4

(一)复数概念 4

(二)复数的运算 5

(三)复数的其它表示法及几何解释 9

(四)平面点集 16

(五)解题示范 22

2 复变函数 25

(一)复变函数概念 25

(二)复变函数的几何表示 27

(三)复变函数的极限 30

(四)复变函数的连续 35

(五)无穷远点 37

(六)解题示范 38

1 解析函数概念 41

(一)导数定义 41

第二章 解析函数 41

(二)C—R 条件 43

(三)函数解析的概念 47

(四)解析函数性质的初步讨论 48

(五)共轭调和函数 53

(六)解题示范 56

2 初等解析函数 60

(一)初等单值函数 60

(二)初等多值函数 68

(三)解题示范 80

第三章 复变函数的积分 87

1 积分概念 87

(一)积分定义 87

(二)积分存在的条件 89

(三)积分的计算 90

(四)积分的性质 93

(五)解题示范 95

2 柯西积分定理 96

(一)柯西积分定理 96

(二)不定积分 99

(三)复闭路情形下的柯西积分定理 103

(四)解题示范 105

3 柯西积分公式 112

(一)引言 112

(二)柯西积分公式 112

(三)解析函数的无限次可微性 116

(四)由柯西公式导出的几个定理 120

(五)解题示范 124

(一)复数项级数 128

第四章 台劳级数 128

1 级数的基本概念 128

(二)复变函数项级数 131

(三)维尔斯特拉斯定理 136

(四)幂级数 137

(五)解题示范 141

(六)阿贝尔第二定理 143

2 解析函数的幂级数展开 146

(一)台劳展式 146

(二)初等函数的幂级数展开 149

(三)函数的台劳展式收敛半径的确定 151

(四)解题示范 153

3 由解析函数的幂级数理论导出的几个定理 159

(一)解析函数零点的孤立性 159

(二)解析函数的唯一性 161

(三)解析函数的最大模原理 163

(四)解题示范 165

(一)两端(或双边)幂级数 169

1 罗朗级数 169

第五章 罗朗级数 169

(二)罗朗级数 171

(三)解题示范 175

2 利用罗朗级数讨论孤立奇点 179

(一)孤立奇点的概念 179

(二)解析函数在孤立奇点的罗朗展开 180

(三)孤立奇点的性质的进一步讨论 182

(四)解题示范 190

(一)解析函数在无穷远点的性质 192

3 解析函数在无穷远点的性质 192

(二)整函数与亚纯函数概念 196

第六章 残数理论及其应用 200

1 残数基本定理与残数计算 200

(一)残数定义 200

(二)残数基本定理 202

(三)残数的计算 203

(四)解题示范 206

(五)关于无穷远点的残数 209

(一)关于 ∫?R(cosθ，sinθ)dθ 型积分的计算 212

2 残数应用于实积分计算 212

(二)关于广义积分的计算 214

(三)多值函数的积分 230

3 幅角原理及其应用 237

(一)引言 237

(二)对数残数 239

(三)幅角原理 242

(四)儒歇定理 243

(五)应用 246

第七章 保形变换 251

1 保形变换概念 251

(一)导数的几何意义和保形变换概念 251

(二)解析函数的保域性 255

(三)单叶解析函数的保形性 257

2 保形变换的基本问题 260

(一)引言 260

(二)保形变换的基本问题 263

(三)边界对应原理 268

3 线性变换 272

(一)线性变换的分解 272

(二)线性变换的保形性 275

(三)线性变换的保圆性 277

(四)线性变换的保对称点性 281

(五)线性变换的保交比性 284

(六)几种典型区域之间的保形变换 286

(七)解题示范 291

(一)初等函数的映射 294

4 初等保形变换 294

(二)二角形区域的保形变换 298

(三)关于机翼剖面函数 304

(四)解题示范 310

第八章 解析开拓 317

1 对称原理 317

(一)引言 317

(二)对称原理的特殊形式 318

(三)对称原理的一般形式 321

(一)解析开拓的一般概念 325

(四)弧对称原理与透弧开拓 325

2 解析开拓的一般概念与幂级数法 325

(二)完全解析函数与自然边界 329

(三)幂级数法 331

3 黎曼面概念 334

(一)w=?z 的黎曼面 334

(二)w=?z 的黎曼面 336

(三)w=Lnz 的黎曼面 337

(一)实分析中 Γ 函数的开拓 338

4 Γ 函数 338

(二)Γ 函数的基本性质 340

5 多角形变换 344

(一)上半平面到矩形的保形变换 344

(二)上半平面到多角形的保形变换 349

第九章 调和函数 356

1 调和函数的性质 356

(一)均值公式 356

(二)极值原理 357

(三)波阿松公式 358

2 狄里克莱问题 359

(一)狄里克莱问题的提法 359

(二)狄里克莱问题解的唯一性与稳定性 360

(三)单位园内狄里克莱问题的解 361

(四)上半平面内狄里克莱问题的解 366

附录Ⅰ 柯西定理的古莎证明 369

附录Ⅱ 本书主要内容示意图 375

附录Ⅲ 各类人员试题解答选编 376