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第1章 张量代数 1

1.1 指标记法 1

1.1.1 求和约定、哑指标 1

1.1.2 自由指标 2

1.2 Kronecker符号 4

1.3 置换符号 5

1.4 指标记法的运算 7

1.4.1 代入法 7

1.4.2 乘积法 7

1.4.3 因式分解法 8

1.4.4 缩并法 8

1.4.5 例题——熟悉指标记法和普通记法的转换 8

1.5 （协变）张量的定义 10

1.5.1 坐标系的变换关系 10

1.5.2 标量（纯量Scalar） 11

1.5.3 协变矢量 11

1.5.4 协变张量 12

1.6 （协变）张量的分量 13

1.7 2阶张量的运算 14

1.7.1 2阶张量的加法和减法 14

1.7.2 2阶张量和标量的乘积 14

1.7.3 并矢积、基张量 15

1.8 张量的统一定义 17

1.9 张量的运算 20

1.9.1 张量的并积 20

1.9.2 张量的点积 20

1.9.3 张量的叉积 21

习题一 23

第2章 张量分析 24

2.1 标量的张量值函数的导数 24

2.2 梯度 26

2.2.1 标量场的梯度 26

2.2.2 向量场的梯度 27

2.2.3 张量场的梯度 28

2.3 散度 29

2.3.1 矢量场的散度 29

2.3.2 张量场的散度 30

2.4 旋度 30

2.4.1 矢量场的旋度 30

2.4.2 张量场的旋度 31

2.5 双重微分算子 32

2.6 张量函数的导数和梯度 32

2.7 曲线坐标系、局部标架 34

2.7.1 曲线坐标系 34

2.7.2 局部标架 36

2.8 对偶基矢量与Christoffel记号 37

2.8.1 对偶基矢量 37

2.8.2 度量张量 37

2.8.3 Christoffel记号 38

2.9 绝对微分、协变导数与逆变导数 40

2.9.1 绝对微分、协变导数 40

2.9.2 逆变导数 42

2.10 不变性微分算子 43

2.10.1 梯度 43

2.10.2 散度 43

2.10.3 旋度 44

2.10.4 拉普拉斯算子 44

2.11 内禀导数 44

2.12 二阶张量的迹 45

2.13 Gauss公式和Stokes公式 46

习题二 48

第3章 张量在应变分析中的应用 49

3.1 位移 49

3.2 几何方程 50

3.3 变形 52

3.4 应变分析 54

3.4.1 长度的变化 54

3.4.2 角度的变化 56

3.5 应变张量 57

3.5.1 应变张量 57

3.5.2 坐标变换 58

3.5.3 应变不变量及主应变 60

3.6 应变协调方程 60

3.6.1 Saint-Venant协调方程 60

3.6.2 Volterra积分表示 63

3.6.3 Volterra公式的推导 63

3.6.4 多连通域 64

3.6.5 等价定理 65

习题三 66

第4章 张量在应力分析中的应用 67

4.1 应力张量 67

4.1.1 外力 67

4.1.2 内力 67

4.1.3 六面体上的应力 68

4.1.4 斜面上的应力 69

4.1.5 应力张量 71

4.2 力平衡方程 71

4.3 主应力 73

4.4 应力函数 74

习题四 76

第5章 张量在微分几何中的应用 77

5.1 曲面的概念 77

5.1.1 简单曲面及参数表示 77

5.1.2 切平面、法线 78

5.1.3 第一基本形式、弧长 78

5.1.4 第二基本形式 79

5.1.5 曲面上曲线的曲率 81

5.1.6 Dupin指标线 83

5.1.7 曲面的渐近方向和共轭方向 84

5.1.8 曲面的主方向和曲率线 87

5.1.9 曲面的主曲率、Gauss曲率、平均曲率 90

5.2 曲面的基本方程和Christoffel符号 92

5.3 Riemann曲率张量和Gauss-Codazzi-Mainardi公式 93

习题五 97

第6章 MATLAB的张量运算 98

6.1 张量运算函数命令 98

6.2 创建张量对象 100

6.3 缩并 101

6.4 张量的乘积 102

6.5 协变导数 103

6.6 第1类Christoffel符号 105

6.7 偏导数和方向导数 106

6.8 基变换 107

习题六 108

附录 习题解答及提示 109

参考书目 121