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第一章 数学预备知识 1

1.1Rn空间及其拓扑 1

1.2映射 5

1.3实分析 10

1.4群论 13

1.5线性代数 15

1.6方阵代数 19

1.7参考文献 24

第二章 微分流形和张量 28

2.1流形的定义 28

2.2球面作为流形 32

2.3流形的其他例子 34

2.4整体考察 35

2.5曲线 36

2.6M上的函数 37

2.7向量和向量场 38

2.8基向量和基向量场 41

2.9纤维丛 42

2.10纤维丛的例子 44

2.11对纤维丛深入考察 45

2.12向量场和积分曲线 50

2.13算子d/dλ的指数 51

2.14李括号和非坐标基 52

2.15什么条件下一个基是坐标基 56

2.16一次形式 59

2.17一次形式的例子 60

2.18狄拉克δ函数 61

2.19梯度及一次形式的图形表示 63

2.20基一次形式和一次形式的分量 66

2.21指标的符号法 68

2.22张量和张量场 69

2.23张量的例子 70

2.24张量的分量和外积 72

2.25缩并 73

2.26基的变换 75

2.27对分量的张量运算 78

2.28函数和标量 79

2.29向量空间上的度规张量 80

2.30流形上的度规张量场 84

2.31狭义相对论 87

2.32参考文献 89

第三章 李导数和李群 91

3.1引言：流形上的向量场给出流形到其自身中的映射 91

3.3向量场的李拉曳 92

3.2函数的李拉曳 92

3.4李导数 94

3.5一次形式的李导数 97

3.6子流形 98

3.7弗罗比纳斯定理（向量场表述） 100

3.8弗罗比纳斯定理的证明 103

3.9例：S2的生成元 106

3.10不变性 107

3.11开林向量场 109

3.13轴对称 111

3.12开林向量和粒子动力学中的守恒量 111

3.14抽象李群 114

3.15李群的例子 117

3.16李代数和它的群 125

3.17实现和表示 131

3.18球对称性，球谐函数和转动群的表示 133

3.19参考文献 139

4.1体积的定义——微分形式的几何作用 141

第四章 微分形式 141

A形式的代数和积分计算 141

4.2反对称张量的记号和定义 144

4.3微分形式 146

4.4微分形式的运算 149

4.5形式的限制 150

4.6形式的场 151

4.7手征性和可定向性 151

4.8体积和定向流形上的积分 152

4.9N次向量，对偶和符号∈ij…k 157

4.10张量密度 162

4.11广义克罗尼克尔δ符号 164

4.12行列式和∈ij…k 166

4.13度规体积元 167

B形式的微分及其应用 169

4.14外微分 169

4.15导数的标记法 170

4.16外微分的常见例子 172

4.17偏微分方程的可积条件 173

4.18恰当形式 174

4.19闭形式局部恰当性的证明 176

4.20形式的李导数 179

4.21李导数和外微分的可换性 181

4.22斯托克斯定理 181

4.23高斯定理和散度的定义 185

4.24对上同调理论的简短讨论 188

4.25微分形式和微分方程 191

4.26弗罗比纳斯定理（微分形式表述） 193

4.27弗罗比纳斯定理两种表述的等价性的证明 197

4.28守恒定律 199

4.29向量球谐函数 201

4.30参考文献 203

A热力学 205

5.1简单体系 205

第五章 物理应用 205

5.2麦克斯韦恒等式和其他数学恒等式 206

5.3复合热力学体系：凯雷瑟多里定理 208

B哈密顿力学 210

5.4哈密顿向量场 210

5.5正则变换 212

5.6由？给出的向量和一次形式之间的映射 212

5.7泊松括号 213

5.8多粒子体系：辛形式 214

5.9线性动力学体系：辛内积和守恒量 215

5.10哈密顿方程的纤维丛结构 218

C电磁理论 220

5.11应用微分形式重新表述麦克斯韦方程组 220

5.12电荷与拓扑 224

5.13矢势 226

5.14平面波——一个简单的例子 227

D理想流体动力学 228

5.15李导数的作用 228

5.16共动时间导数 228

5.17运动方程 230

5.18涡量守恒 231

E宇宙论 234

5.19宇宙学原理 234

5.20最大对称性的李代数 238

5.22六个开林向量的构造 243

5.23开的，闭的和平直的宇宙 247

5.24参考文献 249

第六章 黎曼流形的联络和规范理论 252

6.1引言 252

6.2弯曲面上的平行性 252

6.3协变导数 254

6.4分量：基的协变导数 256

6.5挠率 259

6.6测地线 260

6.7正规坐标 262

6.8黎曼张量 263

6.9黎曼张量的几何解释 265

6.10平直空间 267

6.11联络与体积测度或度规的相容性 268

6.12度规联络 270

6.13仿射联络和等价原理 272

6.14联络和规范理论：电磁理论的例子 273

6.15参考文献 277

附录 280

5.21球对称三维空间的度规 341