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第一章 矩阵代数基础 1

第一节 基本概念 1

1.定义 1

2.矩阵是怎样出现的 3

3.一些特殊的矩阵 4

4.分块与子矩阵 9

第二节 基本运算 12

1.加法 13

2.乘以标量 13

3.矩阵的乘法 16

4.转置 23

5.矩阵是怎样出现的(续) 27

第三节 矩阵运算(续) 34

1.分块矩阵的运算 34

2.克罗内克积 38

附录 矩阵微积分 41

习题 47

第二章 线性代数方程组(唯一解) 52

第一节 引言 52

1.问题的来源 52

2.线性代数方程组的解 58

第二节 高斯消去法 60

1.高斯消去法 60

2.矩阵的三角分解 65

3.选主元 76

4.高斯-约当消去法 79

5.逆矩阵 83

6.追赶法 86

第三节 行列式·克拉默法则 88

1.3阶行列式 90

2.n 阶行列式及其性质 94

3.克拉默法则及行列式的一些应用 102

4.行列式值的计算 110

第四节 逆矩阵 113

1.定义和性质 113

2.逆矩阵计算 118

3.块高斯消去法 123

4.逆矩阵的导数 126

附录 病态与稳定性 127

习题 131

第三章 线性代数方程组(一般情形) 136

第一节 矩阵的秩 136

1.秩的定义 136

2.初等变换 138

3.秩的计算 147

4.标准形 151

第二节 方程组的非唯一解 156

1.齐次方程组 156

2.非齐次方程组 165

3.相容性定理 171

第三节 向量空间 172

1.向量空间及其子空间 172

2.向量的线性相关 176

3.向量空间的基和维 180

4.四个基本的子空间 184

第四节 欧氏空间。矛盾方程组的最小二乘解 189

1.欧氏空间 189

2.正交投影 199

3.矛盾方程组的最小二乘解 206

附录 集合概念 214

习题 217

第四章 线性规划 220

第一节 基本概念 220

1.线性规划的例 220

2.图解法.LP 的基本定理 226

3.标准形式 228

4.顶点的代数特征 233

第二节 单纯形法 238

1.单纯形法 239

2.人工变量法 254

3.修正单纯形法 264

第三节 对偶单纯形法 270

1.对偶问题 270

2.单纯形表中的对偶最优解 275

3.对偶单纯形法 279

4.最优化后分析 282

第四节 整数规划 290

1.割平面法 290

2.分枝定界法 298

3.隐枚举法 300

习题 304

第五章 矩阵对角化 307

第一节 本征值、本征向量 307

1.定义 307

2.性质 312

3.矩阵对角化 321

4.埃尔米特矩阵与实对称矩阵 326

5.三对角线矩阵 333

6.左本征向量、谱分解 336

1.矩阵的高次幂 341

第二节 相似方法 341

2.线性常系数常微分方程组 347

3.应用于化学反应 355

4.罗斯-胡维茨准则 357

第三节 若干数值方法 359

1.计算本征值 359

2.解线性代数方程组的迭代法 374

3.解非线性方程组的牛顿-拉夫逊法 386

第四节 矩阵函数导论 394

1.定义 394

2.西勒维斯特公式 399

3.线性微分方程组 403

附录 差分方程简介 410

习题 419

第六章 二次形式 424

1.定义 425

第一节 标准形 425

2.正交变换 429

3.拉格朗日方法 434

第二节 二次形式的分类 437

1.西勒维斯特惯性律 437

2.正负号性质 439

3.正定矩阵 445

第三节 若干应用 450

1.几何解释 450

2.函数最优化 451

3.李亚普诺夫稳定性 457

4.极小极大原理与雷利商 459

附录 共轭方向 467

习题 472

参考书目 473