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第一部分 集合论初步 1

第一章 集合的基本概念 2

1.1 集体及其表示 2

1.2 集合的包含 3

1.3 集合的运算 5

第二章 关系 12

2.1 二元关系 12

2.2 复合关系与逆关系 17

2.3 关系的闭包 21

2.4 等价关系与划分 26

2.5 顺序关系 32

第三章 函数 43

3.1 函数的概念 43

3.2 复合函数与逆函数 45

第四章 无限集 51

4.1 自然数集 51

4.2 基数 56

4.3 可列集与不可列集 58

4.4 基数的比较 63

4.5 基数的算术运算 68

4.6 集合论的悖论 71

第二部分 图论 75

第五章 图的基本概念 77

5.1 基本术语 77

5.2 路与回路 84

5.3 最短路 90

5.4 欧拉图与哈密顿图 95

第六章 树 111

6.1 树的特征 111

6.2 生成树与割集 113

6.3 最小生成树 118

6.4 深度优先搜索法(DFS) 120

6.5 树形图与有序树 122

6.6 最优树 125

第七章 连通度，网络，匹配与独立集 134

7.1 连通度 134

7.2 网络最大流 140

7.3 图与二分图的匹配 147

7.4 独立集，覆盖 153

第八章 平面图，图的着色 160

8.1 平面图与欧拉公式 160

8.2 顶点着色 165

8.3 地图的着色 168

8.4 色多项式 172

第九章 图的向量空间与矩阵表示 177

9.1 图的向量空间 177

9.2 图的矩阵表示 186

第三部分 代数结构 203

第十章 群 208

10.1 群的定义和例子 208

10.2 变换群、置换群与循环群 215

10.3 子群、正规子群与商群 224

10.4 群的同态及同态基本定理 229

11.1 基本概念 236

第十一章 环与理想 236

11.2 子环与环的同态 239

11.3 多项式环与欧几里德环 244

11.4 理想与商环 254

第十二章 域的扩张 266

12.1 扩域 266

12.2 代数元与超越元 271

12.3 有限域 278

12.4 本原元与本原多项式 283

13.1 偏序集与格 289

第十三章 格与布尔代数 289

13.2 模格 295

13.3 布尔代数 300

第四部分 数理逻辑基础 311

第十四章 命题演算 313

14.1 命题与连接词 313

14.2 合式公式 319

14.3 范式 327

14.4 连接词的功能完备集 332

14.5 论证和有效性 335

14.6 演绎和推理 339

14.7 应用举例 346

第十五章 谓词演算 358

15.1 谓词和量词 358

15.2 函数、项和合式公式 362

15.3 有效合式公式 366

15.4 谓词演算中的推理和演绎 370

15.5 前束形式与前束范式 379

15.6 应用举例 384

主要参考书目 397

名词索引 398