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第一章 数学方法 1

1科学方法 2

1.科学方法论——归纳法与演绎法 2

2.经验数学 4

3.演绎数学 5

4.欧氏几何的历史地位 7

2数学方法的精髓 7

1.引入基本概念 7

2.抽象化 8

3.理想化 9

4.符号化 9

5.演绎法的结构 10

6.演绎推理的地位 11

7.合情推理与论证推理 12

第二章 数学与西方文明 13

1古希腊的数学 14

1.自然数是万物之母 15

2.欧几里得的《几何原本》 16

1.伽利略的规划 17

2自然科学的数学化 17

2.宇宙的和谐 18

3.物理学 20

4.化学 21

5.生命的奥秘 22

6.概率论与太空旅行 24

3数学与人文科学 25

1.数学与西方宗教 25

2.数学与西方政治 26

3.人口论 28

4.史学 29

5.数学与语言学 30

6.诺贝尔经济奖与数学 31

4数学与艺术 32

1.科学与艺术 32

2.傅里叶的功绩 34

3.数学与绘画 35

5笛卡儿的方法论 38

第三章 数与形 41

1形数 42

1.算术的运算规律 42

2.自然数的求和公式 44

3.自然数的平方和 46

4.正负交错的自然数平方和 47

5.自然数的立方和 47

2利用面积求无穷序列的和 48

1.等比级数的求和公式 48

2.一个无穷和 49

3代数与几何关系式 50

1.赵爽对勾股定理的证明 50

2.几何平均数与算术平均数 51

3.变换—求解—还原 53

习题 55

第四章 数学的发现 57

1引言 58

1.学点方法论 58

2.归纳法与数学归纳法 58

2归纳推理 59

1.归纳法实例 59

2.等周问题 61

3.等周定理的证明 62

1.如何类比 65

3类比 65

2.类比的重要性 66

3.更上一层楼 68

4.伯努利问题 69

第五章 特殊化与一般化 75

1引言 76

1.一般化与特殊化 76

2.向量模式 79

3.伽利略与落体运动 80

1.物不知其数 81

2孙子定理 81

2.孙子问题的解法分析 83

3.孙子定理 84

3辗转相除法 85

1.带余除法 85

2.辗转相除法 85

4插值理论 88

1.引申 88

2.应用——求和公式 90

习题 92

第六章 数学归纳法 93

1数学归纳法本义 94

1.什么是数学归纳法？ 94

2.数学归纳法要义 98

2灵活使用数学归纳法 98

1.数学归纳法在代数学中的应用 98

2.斐波那契级数 101

3.数学归纳法在计算中的应用 103

4.数学归纳法与贾宪三角 105

习题 108

5.历史注记 108

第七章 逻辑初步 111

1引言 112

1.思维的科学 112

2.公理与逻辑 113

3.史注 113

2逻辑的方法 114

1.比较法 114

2.分析与综合 114

3.抽象与概括 114

2.种和属 115

1.概念的外延和内涵 115

3概念 115

3.等价关系与分类（划分） 116

4定义 118

5判断 119

1.判断 119

2.否定判断 120

3.含量词的判断 121

4.连接词 122

5.关于“或”的复合判断 123

6.关于“与”的复合判断 124

习题 126

6条件句和双条件句 126

1.条件句 126

2.双条件句——“当且仅当……”的复合判断 128

3.逻辑学与集合论 129

4.符号逻辑小结 130

7逻辑思维的基本规律 130

1.同一律 130

2.矛盾律 131

4.充足理由律 132

3.排中律 132

8三段论法 133

1.推理 133

2.三段论法的定义和结构 133

3.否定后件的推理 136

4.传递推理 136

5.选言推理 137

6.两种错误推理 138

7.总结 138

习题 139

第八章 数学命题和证明方法 141

1命题与定理 142

1.数学命题 142

2.定理的结构 143

3.定理系统 144

2逆命题和否命题 145

1.为什么要研究逆命题 145

2.逆命题制造法 147

3.否命题制造法 148

1.命题的四种形式 149

3命题的四种形式 149

习题 149

2.命题的等价性 151

习题 152

4充分条件和必要条件 153

1.充分的特征 153

2.必要的特征 154

3.必要而且充分的特征 154

习题 155

2.反证法 156

1.直接证法与间接证法 156

5间接证法 156

3.同一法 160

6分析法与综合法 161

习题 162

第九章 证明的限度 165

1.希尔伯特的梦想 166

2.数学的公理化 167

3.哥德尔的不完全性定理 168

附录 171

关于读书 171