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绪论 微积分的研究对象和基本思想方法 1

第一章 微积分的理论基础 8

第一节 集合与函数 8

1.1 集合及其运算 8

1.2 映射与函数的概念 10

1.3 复合映射与复合函数 13

1.4 逆映射与反函数 15

1.5 初等函数与双曲函数 16

1.6 建立实际问题中的函数关系式 17

习题1.1 19

第二节 数列的极限 22

2.1 数列极限的概念 22

2.2 收敛数列的性质与极限运算法则 25

2.3 数列收敛的判别准则 30

习题1.2 34

3.1 函数极限的概念 36

第三节 函数的极限 36

3.2 函数极限的性质和运算法则 41

3.3 两个重要极限 45

3.4 函数极限的存在准则 47

习题1.3 48

第四节 无穷小量与无穷大量 50

4.1 无穷小量及其阶的概念 50

4.2 无穷小的等价代换 53

4.3 无穷大量 54

习题1.4 56

第五节 连续函数 57

5.1 函数的连续性概念与间断点的分类 57

5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 60

5.3 闭区间上连续函数的性质 63

习题1.5 66

第一章 习题 67

综合练习题 69

第二章 一元函数微分学及其应用 71

第一节 导数的概念 71

1.1 导数的定义 71

1.2 导数的几何意义 75

1.3 可导与连续的关系 77

1.4 科学技术中的导数问题举例 78

习题2.1 81

第二节 求导的基本法则 83

2.1 函数和、差、积、商的求导法则 83

2.2 复合函数的导数 85

2.3 反函数的导数 87

2.4 高阶导数 89

习题2.2 92

第三节 隐函数与参数方程的求导法 94

3.1 隐函数求导法 94

3.2 参数方程求导法 95

3.3 相关变化率 98

习题2.3 99

第四节 微分 101

4.1 微分的概念 101

4.2 微分的几何意义 102

4.3 微分的运算法则 103

4.4 微分在近似计算中的应用 104

习题2.4 105

第五节 微分中值定理及L'Hospital法则 107

5.1 微分中值定理 107

5.2 L'Hospital法则 113

习题2.5 118

第六节 Taylor定理 120

6.1 Taylor定理 121

6.2 几个初等函数的Maclaurin公式 124

6.3 Taylor公式的应用 126

习题2.6 128

7.1 函数的单调性 129

第七节 函数性态的研究 129

7.2 函数的极值 130

7.3 函数的最大(小)值 132

7.4 函数的凸性 136

习题2.7 139

第二章习题 143

综合练习题 145

第三章 一元函数积分学及其应用 146

第一节 定积分的概念与性质 146

1.1 定积分问题举例 146

1.2 定积分的定义 148

1.3 定积分的性质 151

习题3.1 154

第二节 微积分基本公式与基本定理 156

2.1 微积分基本公式 156

2.2 微积分基本定理 158

2.3 不定积分 160

习题3.2 162

第三节 两种基本积分法 165

3.1 换元积分法 165

3.2 分部积分法 172

3.3 初等函数的积分问题 177

习题3.3 178

第四节 定积分的应用 181

4.1 建立积分表达式的微元法 181

4.2 定积分在几何中的应用举例 182

4.3 定积分在物理中的应用举例 186

习题3.4 189

第五节 反常积分 191

5.1 无穷区间上的积分 191

5.2 无界函数的积分 194

5.3 无穷区间上积分的审敛准则 196

5.4 无界函数积分的审敛准则 198

5.5 Г函数 200

习题3.5 201

第六节 几类简单的微分方程 203

6.1 几个基本概念 204

6.2 可分离变量的一阶微分方程 207

6.3 可用变量代换化为可分离变量方程的微分方程——齐次微分方程 208

6.4 一阶线性微分方程 210

6.5 可降阶的高阶微分方程 214

6.6 微分方程应用举例 215

习题3.6 221

第三章习题 223

综合练习题 225

第四章 无穷级数 227

第一节 常数项级数 227

1.1 常数项级数的概念与性质 227

1.2 正项级数的审敛准则 232

1.3 变号级数的审敛准则 237

习题4.1 241

第二节 幂级数 243

2.1 函数项级数的处处收敛性 243

2.2 幂级数的收敛性及运算性质 245

2.3 函数展开成幂级数 251

2.4 幂级数的应用举例 257

2.5 函数项级数的一致收敛性 259

习题4.2 266

第三节 Fourier级数 268

3.1 周期函数与三角级数 269

3.2 三角函数系的正交性与Fourier级数 270

3.3 周期函数的Fourier展开 272

3.4 定义在［0,l］上的函数的Fourier展开 278

3.5 Fourier级数的复数形式 280

习题4.3 281

第四章习题 283

综合练习题 285

附录 部分习题答案与提示 286