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目录 3

前言 3

第一部分 代数 3

第一章 数系 3

一、自然数理论 10

1．基数理论 11

2．序数理论 12

二、有理数域 15

三、实数集 21

1．无理数的引入 22

2．实数集及其性质 28

3．代数数与超越数 33

附录：希尔伯特数学问题 39

第二章 方程与方程组 43

一、等式与方程 52

二、同解方程与同解原理 56

三、方程的近似解法 61

1．累试法 61

2．弦位法 62

四、扩充域与不动点原理简介 64

1．关于代数方程解的充要条件的认识 64

2．不动点原理的认识 67

第三章 函数与映射 76

一、函数与映射 81

二、反函数及其性质 88

三、复合函数 95

四、函数方程简介 102

1．函数方程的概念 103

2．函数方程的解法 105

3．关于函数的公理化定义 108

第四章 不等式 112

一、不等式的概念与性质 113

1．基本概念与基本原理 113

2．不等式的基本性质 115

3．绝对值不等式的几个重要性质 116

二、不等式的解法 117

2．一元二次不等式的解法 118

1．一元一次不等式与一元一次不等式组的解法 118

3．一元高次不等式的解法 119

4．分式不等式的解法 123

5．无理不等式的解法 124

6．绝对值不等式的解法 126

7．一些简单的超越不等式的解法 127

三、经典不等式 128

1．有关平均数的不等式 128

2．柯西不等式 137

3．霍尔德不等式与闵科夫斯基不等式 139

四、不等式的证明 140

1．不等式的基本证明方法 141

2．放缩法与数学归纳法 146

3．微分法 149

五、不等式的应用 150

第五章 数列 156

一、数列的一般知识 158

1．数列的表示法 159

3．数列的通项问题与前n项和问题 164

2．数列的基本性质 164

二、等差数列与等比数列 167

1．等差数列的定义和性质 167

2．等比数列的定义和性质 174

3．等差数列与等比数列的两套公式及其运用 180

三、数列求和问题 187

1．两类基本的求和问题 188

2．混合数列的求和 195

3．自然数的方幂和及其应用 196

四、等比差数列、高阶等差数列与循环数列 201

1．等比差数列 201

2．高阶等差数列 203

3．循环数列 209

第六章 复数 211

一、复数集 214

1．复数集内的元素 214

2．共轭复数 221

3．复数的三角形式 230

4．复数集上的一元n次方程和复数的n次方根 239

二、复数与几何 255

1．复数集、复平面、向量集 255

2．方程的曲线与函数的图象 265

3．复数运算的几何意义 275

第七章 排列、组合、二项式定理、概率初步 286

一、排列、组合 287

1．解排列、组合问题的八种基本思维方法 288

2．具有较多限制条件的排列、组合问题举例 304

3．其他类型的排列、组合问题选讲 313

二、二项式定理 326

1．二项式定理与组合数性质 326

2．杨辉三角与组合数性质 342

三、概率初步 346

1．事件与概率 346

2．概率计算的例题选讲 348

第八章 平面三角 363

第二部分 三角 363

一、三角函数与反三角函数 364

1．三角函数的定义 365

2．三角函数的图象和性质 373

3．反三角函数 390

4．三角函数值的反演 395

二、三角公式与三角变换 397

1．三角公式 398

2．三角函数的求值 418

3．三角函数式的化简与证明 428

4．三角方程的求解 439

三、三角与几何 452

1．解三角形的基本理论 452

2．解三角形的基本类型 466

3．应用举例 472

4．用三角方法解决几何问题 481

第三部分 初等几何 495

第九章 平面几何 495

一、平面几何研究的问题 495

二、当前平面几何的研究方向 522

一、立体几何需要的基本能力 524

第十章 立体几何 524

二、研究立体几何的内容、方法及解题规律的三个专题 543

1．异面直线的成角和距离 543

2．对称原则 558

3．关于四面体的基本结果 561

第四部分 平面解析几何 578

第十一章 解析几何 578

1．坐标系 581

一、坐标系中的基本问题和坐标方法 581

2．坐标法在中学数学中的应用 591

二、曲线与方程 602

1．曲线与方程的概念 602

2．轨迹方程 608

3．用待定系数法求曲线的方程 620

三、直线和圆锥曲线 624

1．直线 624

2．圆锥曲线 636

四、坐标变换 662

1．坐标轴的平移 667

2．坐标轴的旋转 670

3．一般二次方程的讨论和化简 673

五、参数方程、极坐标 678

1．参数方程 678

2．极坐标 697

1．曲线系方程 725

六、解析几何中的几个专题 725

2．平面区域和二元不等式 740

3．最大（小）值问题 755

4．定值问题 765

第五部分 非欧几何 769

第十二章 非欧几何简介 769

一、非欧几何简介 769

二、关于“模型”的认识 775

三、罗巴切夫斯基几何简介 777

四、关于黎曼几何 784