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序 1

一、从勾股定理到费尔马大定理 3

（一）从勾股三角形谈起 3

（二）勾股数 5

（三）问题的拓广和特例 12

1．由“变”到“常”，由“常”到“变” 12

2．由相同到相异 17

3．由多到少，由少到多 27

4．由特殊到一般，由一般到特殊 32

5．由形到数，由数到形 45

6．从数的性质提出问题 50

7．由类比提出问题 54

（四）一条著名的旁注 57

二、费尔马大定理的探讨 60

（一）n＝4的费尔马大定理 60

（二）关于n＝3的欧拉证明 63

1．欧拉关于n＝3的证明 64

2．根式环 66

3．关于两平方数之和 70

4．一个引理的证明 77

5．关于两个平方数之和的若干注 80

（三）关于n＝3的一个初等证明 86

（四）从勒浪德到库姆尔 98

1．关于n＝5和n＝7，分圆整数 98

2．代数数论基本知识 100

3．关于正则素数 104

4．其他一些结果 105

（五）费尔马大定理研究的一些新成果 106

1．考虑结论反面的必要条件 106

2．充分条件 108

（六）简评 109

三、费尔马大定理与莫德尔猜想 114

（一）莫德尔猜想 114

（二）解不定方程的一般性问题 116

（三）几个重要结果 117

1．曲线的沙发列维奇猜想 117

2．阿贝尔簇的沙发列维奇猜想 118

3．有界高度原理 118

4．同源下高的行为 119

5．泰特猜想 119

（四）莫德尔猜想的证明 120

（五）从莫德尔猜想到费尔马大定理 122

四、哥德巴赫猜想 123

（一）猜想的提出 123

（二）悲观的预言与惊人的成果 125

（三）圆法 126

（四）筛法 136

五、地图着色与四色猜想 143

（一）四色猜想的提出 143

1．什么叫四色猜想 143

2．先生问学生和学生问先生 144

（二）早期的证明和五色定理 145

1．凯利的呼吁 145

2．另辟蹊径 146

3．约当曲线和欧拉定理 146

4．五色定理 149

5．肯普的证明 150

（三）四色猜想的证明 152

1不可避免组和可约构形 152

2．公开宣称的一种信念 153

3．等价的形式 153

4．可约性障碍和放电 154

5．新的困难 155

6．人机合作证明了四色猜想 155

7．解决地图四色问题的重大意义 156

（四）平面图 156

（五）线（边）着色 159

（六）顶点着色 163

（七）全色猜想 167

六、提出数学猜想的若干方法 169

（一）不完全归纳法 169

（二）类比法 172

（三）变换条件法 175

（四）物理模拟法 176

（五）联系观察法 176

（六）逐级猜想法 180

七、判定数学猜想真伪性的几个途径 182

（一）举例否定 182

（二）逐次趋近 185

（三）命题转化 188

（四）反证法 189

八、数学猜想的艰难性 193

（一）有一个逐步完善的过程 193

（二）时间长与途径曲折 195

1．时间长 195

2．途径曲折 196

（三）有时得不到多数人的承认 201

九、数学猜想的类型、特征与意义 204

（一）数学猜想的类型 204

1．存在型猜想 204

2．规律型猜想 205

3．方法型猜想 205

（二）数学猜想的特征 207

1．真伪的待定性 207

2．思想的创新性 208

3．目标的具体性 209

（三）研讨数学猜想的重要意义 210

1．丰富数学理论 210

2．促进数学方法论的研究 213

3．推动潜科学学的探讨 215