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1 一阶常微分方程 1

1.1 导数已解出的一阶方程 1

1.1.1 变量可分离的方程 1

1.1.2 齐次方程 3

1.1.3 线性方程 5

1.1.4 Bernoulli方程 7

1.1.5 Ricatti方程 8

1.1.6 全微分方程 9

1.1.7 初值问题 11

1.2.1 解出未知函数的方程和Clairaut方程 15

1.2 导数未解出的一阶方程 15

1.2.2 解出自变量的方程 17

1.3 应用 18

1.3.1 传染病的数学模型 18

1.3.2 生物群体总量的增长 20

习题一 22

2 高阶常微分方程 24

2.1 高阶线性微分方程解的结构 24

2.2 n阶常系数线性微分方程 25

2.2.1 n阶常系数线性齐次方程 25

2.2.2 n阶常系数线性非齐次方程 27

2.3 Euler方程 31

2.4 高阶微分方程的降阶 33

2.4.1 不显含未知函数的方程 33

2.4.2 不显含自变量的方程 34

2.4.3 齐次方程 36

2.4.4 全微分方程 37

2.5 应用 38

2.5.1 悬臂梁的弯曲 38

2.5.2 导弹跟踪问题 39

习题二 41

3.1 一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性 43

3 线性常微分方程组 43

3.2 线性微分方程组解的结构 44

3.3 常系数线性微分方程组 49

3.3.1 常系数线性齐次方程组 49

3.3.2 常系数线性非齐次方程组 55

3.4 微分方程组和高阶微分方程之间的互化 57

3.5 二阶变系数线性微分方程 60

习题三 63

4 常微分方程边值问题和特征值问题 66

4.1 二阶边值问题解的存在唯一性 66

4.2 二阶边值问题解的积分表示 70

4.3 特征值问题 73

4.4 应用 77

4.4.1 简支梁的弯曲 77

4.4.2 悬链线 79

习题四 81

5 偏微分方程 83

5.1 波动方程 83

5.1.1 弦振动方程的导出 83

5.1.2 混合问题的分离变量法与齐次化原理 85

5.1.3 D'Alembert公式及其物理意义 94

5.1.4 高维波动方程和定解条件 101

5.2 热传导方程 102

5.2.1 热传导方程的导出和定解条件 102

5.2.2 混合问题的分离变量法 104

5.2.3 Fourier变换与初值问题的解 107

5.2.4 极值原理及其应用 111

5.3 调和方程 114

5.3.1 调和方程及其基本解 114

5.3.2 基本积分公式和平均值公式 115

5.3.3 极值原理及其应用 116

5.3.4 圆域Poisson公式 118

5.4.1 二阶方程的化简 121

5.4 二阶线性偏微分方程的分类 121

5.4.2 二阶方程的分类 125

习题五 128

6 差分法 134

6.1 常微分方程边值问题 134

6.1.1 差分方程的建立 134

6.1.2 极值原理和差分解的唯一性 142

6.1.3 差分解的稳定性与收敛性 143

6.2 椭圆型方程 147

6.2.1 五点差分格式 147

6.2.2 第三类边界条件的处理 151

6.3.1 差分方程的建立 153

6.2.3 差分解的误差估计 153

6.3 抛物型方程 153

6.3.2 差分格式的稳定性 157

6.3.3 第三类边界条件的处理 159

6.4 双曲型方程 161

6.4.1 差分方程的建立 161

6.4.2 初始条件的处理 164

6.4.3 差分格式的稳定性 165

习题六 166

习题参考答案 170

参考文献 178