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第一章 绪论 1

1.1 误差的来源 1

1.2 误差的基本概念 3

1.2.1 误差与误差限 3

1.2.2 相对误差与相对误差限 3

1.2.3 有效数字 4

1.3 数值计算的注意事项 6

1.3.1 数值运算时误差的传播 6

1.3.2 数值运算中应注意的事项 8

习题 14

第二章 插值理论与曲线拟合 16

2.1 插值的基本概念、插值多项式的存在唯一性 16

2.2 Lagrange插值 18

2.2.1 Lagrange插值多项式的构造 18

2.2.2 Lagrange插值误差分析 21

2.3 牛顿(Newton)插值 24

2.3.1 差商的定义及其性质 24

2.3.2 牛顿插值多项式 27

2.4 等距节点的多项式插值 30

2.4.1 差分 30

2.4.2 差分形式的插值公式 32

2.5 埃尔米特(Hermite)插值公式 34

2.6 分段低次多项式插值 39

2.6.1 分段线性插值 40

2.6.2 分段抛物线插值 43

2.6.3 分段三次埃尔米特插值 44

2.7 三次样条插值 46

2.7.1 样条函数的基本概念 47

2.7.2 三转角方程 49

2.8 曲线拟合 53

习题 58

数值实验 62

第三章 方程求根 63

3.1 引言 63

3.2 二分法 65

3.3 迭代法 67

3.3.1 迭代法的基本概念 67

3.3.2 迭代过程的收敛性 69

3.3.3 迭代过程的局部收敛及其收敛速度 74

3.3.4 埃特金(Aitken)加速法 76

3.4 牛顿法 79

3.4.1 牛顿迭代公式 79

3.4.2 牛顿迭代法的局部收敛性 81

3.4.3 大范围收敛性 82

3.5.1 弦截法 84

3.5 弦截法 84

3.5.2 快速弦截法 86

习题 87

数值实验 88

第四章 线性代数方程组的解法 89

4.1 直接方法 90

4.1.1 高斯简单消去法 90

4.1.2 选主元消去法 93

4.1.3 高斯-约当消去法 97

4.1.4 三角分解法 100

4.1.5 平方根法(Cholesky分解法) 104

4.1.6 追赶法 106

4.2 范数与误差分析 109

4.2.1 向量范数 109

4.2.2 矩阵范数 111

4.2.3 谱半径 113

4.2.4 条件数与误差估计 114

4.3 迭代法 117

4.3.1 雅可比简单迭代法 119

4.3.2 高斯-赛德尔迭代法 120

4.3.3 迭代法的收敛性 121

习题 125

数值实验 128

第五章 数值积分 130

5.1 求积公式 130

5.1.1 矩形求积公式 130

5.1.2 插值型求积公式 131

5.1.3 代数精度的概念 132

5.2 牛顿-柯特斯公式 133

5.2.1 梯形求积公式 134

5.2.2 抛物线求积公式 135

5.2.3 牛顿-柯特斯公式 136

5.3 复化求积公式 139

5.3.1 复化梯形公式 140

5.3.2 复化辛普生公式 141

5.4 龙贝格公式 143

5.4.1 变步长的梯形法则 143

5.4.2 龙贝格求积法 145

5.5 高斯型求积公式 148

5.5.1 高斯求积公式 148

5.5.2 几种常用的高斯型求积公式 151

习题 154

数值实验 155

第六章 常微分方程初值问题的数值解法 156

6.1 欧拉(Euler)方法 156

6.1.1 欧拉法 157

6.1.3 梯形法及其预估-校正公式 159

6.1.2 向后欧拉法 159

6.2 龙格-库塔方法 162

6.2.1 泰勒展开法 162

6.2.2 龙格-库塔方法 163

6.3 线性多步法 167

6.3.1 待定系数法 168

6.3.2 数值积分法 170

6.3.3 出发值的计算 172

6.4 预估-校正法 173

6.4.1 Adams预估-校正模式 173

6.4.2 Hamming预估-校正模式 175

6.5 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 176

6.5.1 一阶微分方程组 176

6.5.2 高阶常微分方程 178

习题 179

数值实验 181

第七章 矩阵的特征值与特征向量 182

7.1 幂法与反幂法 182

7.1.1 幂法 182

7.1.2 反幂法 185

7.2 雅可比方法 188

7.2.1 平面旋转矩阵 188

7.2.2 雅可比方法 189

7.3 QR方法 193

7.3.1 Householder变换 193

7.3.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵 194

7.3.3 矩阵的正交三角分解 197

7.3.4 QR方法 197

习题 198

参考文献 200

部分习题答案 201