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第一章 函数·极限·连续 1

1.1 关于函数概念与性质的几点评注 1

1.2 关于极限概念的几点评注 14

1.3 如何求0/0型极限 18

1.4 如何求∞/∞型极限 34

1.5 如何求∞—∞型极限 39

1.6 如何求0·∞型极限 44

1.7 如何求1∞型极限 49

1.8 如何求0°、∞°型极限 58

1.9 如何确定极限式中的常数 61

1.10 如何确定无穷小的阶 74

1.11 如何求含参变量代数式的极限 79

1.12 如何由已知极限式求另一极限 87

1.13 如何求n项和式与n项积式的极限 94

1.14 如何求由递推式确定的数列的极限 104

1.15 如何判断函数间断点的类型及讨论函数的连续性 109

1.16 如何求二元函数的极限 117

附录 研究生入学考试试题 131

参考答案及提示 140

第二章 微分学及其应用 143

2.1 如何讨论一元函数的可导性 143

2.2 如何求一元抽象函数的导数 157

2.3 如何求一元分段函数中的参数 165

2.4 如何求一元复合函数的导数 173

2.5 如何求一元隐函数的导数 179

2.6 如何求由参数方程确定的函数的导数 184

2.7 如何求高阶导数 188

2.8 如何求解平面曲线的切线问题 195

2.9 如何求平面曲线的渐近线 201

2.10 如何讨论函数的单调性、极值点、曲线的凸凹性及拐点问题 204

2.11 如何由y=f'（x）（y=f（x））的图形判断y=f（x）（y=f'（x））的图形 219

2.12 如何求显函数z=f（x,y）的偏导数 223

2.13 如何求多元复合函数的偏导数 226

2.14 如何判断隐函数的存在性及求隐函数的偏导数 237

2.15 如何求解变量替换下微分方程的变形问题（数二、三、四可略） 251

2.16 如何求解方向导数与梯度、散度与旋度、曲面的切平面与曲线的切线问题（数二、三、四可略） 260

2.17 如何求函数的极值与最值 279

2.18 如何求解经济问题（数一、二可略） 295

附录 研究生入学考试试题 307

参考答案及提示 327

第三章 积分学及其应用 333

3.1 求不定积分——如何使用第一换元法 333

3.2 求不定积分——如何使用分部积分法 353

3.3 求不定积分——如何使用第二换元法 364

3.4 求不定积分——几种常见积分的积分法 374

3.5 定积分的性质及简单应用 384

3.6 如何计算定积分 390

3.7 几种特殊形式定积分的计算 408

3.8 变限积分及其应用 427

3.9 如何计算广义积分 455

3.10 定积分的应用 463

3.11 如何计算二重积分 499

3.12 如何计算三重积分（数二、三、四可略） 534

3.13 如何交换积分次序 554

3.14 如何比较积分值的大小 566

3.15 如何计算第一型曲线积分（数二、三、四可略） 572

3.16 如何计算第一型曲面积分（数二、三、四可略） 583

3.17 如何计算第二型曲线积分（数二、三、四可略） 600

3.18 如何计算第二型曲面积分（数二、三、四可略） 619

3.19 多元函数积分学的应用（数二、三、四可略） 634

附录 研究生入学考试试题 647

参考答案及提示 670

第四章 重要定理及其应用 677

4.1 如何证明代数不等式 677

4.2 如何证明积分不等式 692

4.3 如何讨论方程的根 705

4.4 如何证明含f（ξ）的等式 715

4.5 如何证明含f(n)（ξ）的等式 722

4.6 如何证明含f'（ξ）及f'（η）的等式 735

附录 研究生入学考试试题 743

参考答案及提示 748

第五章 微分方程与差分方程 752

5.1 如何求解一阶微分方程 752

5.2 可降阶的二阶微分方程（数三，四可略） 772

5.3 二阶线性微分方程（数四可略） 774

5.4 n阶常系数线性微分方程与欧拉方程（数三、四可略） 786

5.5 如何列微分方程解应用问题 797

5.6 如何求解差分方程（数一、二、四可略） 807

附录 研究生入学考试试题 810

参考答案及提示 817

第六章 无穷级数（数二、四可略） 820

6.1 如何判断正项级数的敛散性 820

6.2 如何判断任意项级数的敛散性 832

6.3 如何判断抽象级数的敛散性 840

6.4 幂级数收敛的特性 853

6.5 如何求函数的幂级数展开式 859

6.6 如何求幂级数的和函数 868

6.7 如何求数值级数的和 879

6.8 傅里叶级数（数三可略） 884

附录 研究生入学考试试题 892

参考答案及提示 897

第七章 向量代数与空间解析几何（数二、三、四可略） 899

7.1 向量的概念与运算 899

7.2 如何求平面方程 908

7.3 如何求直线方程 917

7.4 如何确定点、直线、平面间的位置关系 923

7.5 如何求旋转面的方程 927

附录 研究生入学考试试题 933

参考答案及提示 934