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第一章 函数与极限 1

第一节 变量与函数 1

1.1.1 常量与变量 1

1.1.2 连续变量的变化范围的表示方法 2

1.1.3 绝对值与邻域 3

1.1.4 函数概念 6

1.1.5 函数的几种特性 8

1.1.6 反函数 12

第二节 初等函数 14

1.2.1 基本初等函数及其图形 14

1.2.2 复合函数与初等函数 17

1.2.3 双曲函数与反双曲函数 18

第三节 数列的极限 22

1.3.1 极限方法 22

1.3.2 数列的极限 23

1.3.3 “数列{xa}的极限为a”的几何解释 26

1.3.4 数列极限的性质 27

第四节 函数的极限 29

1.4.1 当x→x0,x→x0-,x→x0+时函数的极限 29

1.4.2 当x→∞,x→+∞,x→-∞时的极限 31

第五节 无穷小与无穷大 34

1.5.1 无穷小 35

1.5.2 无穷小的性质 35

1.5.3 无穷大 37

第六节 极限的运算 39

第七节 极限存在准则 两个重要极限 42

1.7.1 夹逼定理 43

1.7.2 单调有界准则 46

第八节 无穷小的比较 49

1.9.1 函数的连续性概念 51

第九节 函数的连续性与间断点 51

1.9.2 函数的间断点 55

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 58

1.10.1 连续函数的四则运算 58

1.10.2 反函数与复合函数的连续性 58

1.10.3 初等函数的连续性 59

第十一节 闭区间上连续函数的性质 60

习题一 63

第二章 导数与微分 71

第一节 导数的概念 71

2.1.1 三个实际问题 71

2.1.2 导数的定义 73

2.1.3 求导举例 76

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 79

2.2.1 求导的四则运算法则 80

第二节 求导数的运算法则 80

2.2.2 反函数的求导 83

2.2.3 复合函数求导法 85

2.2.4 导数公式和导数运算法则汇集 89

第三节 高阶导数 90

第四节 若干特殊的求导方法 94

2.4.1 隐函数求导法 94

2.4.2 由参数方程确定的函数的求导 95

2.4.3 对数求导法 97

第五节 微分 98

2.5.1 微分的概念 98

2.5.2 微分与导数的关系 99

2.5.3 微分的几何意义 100

2.5.4 微分公式及微分运算法则 101

习题二 103

第一节 中值定理 112

3.1.1 罗尔(Rolle)定理 112

第三章 中值定理与导数的应用 112

3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 115

3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 118

3.1.4 泰勒(Taylor)中值定理 119

第二节 洛必达(L'Hospital)法则 123

3.2.1 x→x0时的？型未定式的洛必达法则 124

3.2.2 其他型的未定式 128

第三节 函数的单调性 130

第四节 函数的极值及其求法 133

3.4.1 极值的定义 133

3.4.2 函数取极值的必要条件 134

3.4.3 函数取极值的充分条件 135

第五节 最大值、最小值问题 139

第六节 曲线的凹凸性与拐点 141

3.6.1 凹凸的定义 142

3.6.2 曲线的凹凸的判定定理 143

3.6.3 拐点及其求法 144

第七节 曲线的渐近线 函数图形的描绘 146

3.7.1 曲线的渐近线 146

3.7.2 函数图形的描绘 148

第八节 弧微分与曲率 151

3.8.1 弧微分 151

3.8.2 曲率 153

习题三 155

第四章 不定积分 164

第一节 不定积分的概念与性质 164

4.1.1 原函数与不定积分的概念 164

4.1.2 基本积分表 167

4.1.3 不定积分的性质 168

第二节 换元积分法 171

4.2.1 第一类换元法 171

4.2.2 第二类换元法 176

第三节 分部积分法 182

第四节 几类特殊函数的积分 186

4.4.1 有理函数的积分 187

4.4.2 三角函数有理式的积分 190

4.4.3 简单无理函数的积分 193

习题四 195

第五章 定积分及其应用 199

第一节 定积分的基本概念与性质 199

5.1.1 几个例子 199

5.1.2 定积分的定义 202

5.1.3 定积分的性质 204

第二节 牛顿—莱布尼兹公式 208

5.2.1 积分上限的函数 209

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 211

第三节 定积分的换元积分法 213

第四节 定积分的分部积分法 218

第五节 广义积分 221

5.5.1 积分区间为无穷区间的广义积分 221

5.5.2 被积函数有无穷间断点的广义积分 224

第六节 定积分在几何上的应用 226

5.6.1 定积分的元素法 226

5.6.2 平面图形的面积 227

5.6.3 旋转体的体积 230

5.6.4 平面曲线的弧长 232

第七节 定积分在物理上的应用 235

5.7.1 功 235

5.7.2 水压力 237

5.7.3 函数的平均值 238

习题五 239

附录 几种常见曲线 251

习题解答 256