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目录 1

序 1

数学历史篇（第一章至第三章） 3

第一章 数概念的发展与数性的因袭——从自然数到八元数 3

一、数觉：人类数学的起源 4

二、从自然数到复数 10

三、复数之后还能走多远？ 15

四、走向严密走向无限 19

第二章 几何的历史与空间观念的发展——从平直空间到弯曲空间 25

一、从欧几里得几何到非欧几何 26

二、几何基础与形式公理学 32

三、几何的局部化与弯曲的空间 38

第三章 数学分析的历史——从微积分到泛函分析 47

一、牛顿、莱布尼茨微积分——分析学的创立 48

二、复变函数与实变函数——分析学的发展 61

三、泛函分析——20世纪的分析学 71

数学哲学篇（第四章至第六章） 81

第四章 数学危机与数学基础——从危机走向进步 81

一、数学史上的三次危机 82

二、策梅罗与公理集合论方案 87

三、罗素与逻辑主义数学 94

四、布劳维尔与直觉主义数学 100

五、希尔伯特与形式主义数学 106

第五章 实验数学及对欧几里得范式的挑战——跨世纪的数学革命 110

一、四色定理：新世纪数学的钟声 112

二、国际数学界对实验数学的反应 120

三、实验数学对欧氏范式的挑战（上） 128

四、实验数学对欧氏范式的挑战（下） 136

第六章 计算的本质与计算方式的变革——从递归计算到量子计算 142

一、计算之本质与丘奇－图灵论点 143

二、指数爆炸与计算复杂性 150

三、DNA计算与量子计算 160

四、计算方式的变革及其哲学意义 170

数学文化篇（第七章至第九章） 177

第七章 数学与科学 177

一、科学数学化的历史渊源 179

二、宇宙这部大书是用数学语言写成的 184

三、科学数学化的当代走向 190

四、数学何以具有那不可思议的有效性 195

第八章 数学与哲学 201

一、数学世界与数学实在论 203

二、人的心智与数学反实在论 210

三、属人的数学与自主的数学 216

第九章 数学与艺术 224

一、艺术与美的数学 226

二、美的力量与数学发展 234

三、数学——艺术的支柱 241

四、数学与现代文化 246

数学社会篇（第十章至第十二章） 255

第十章 数学革命与社会进步 255

一、数学革命：人类思想解放的动因 256

二、数学革命：人类社会进步的动力 262

三、数学、高新技术与经济繁荣 269

四、数学机械化：社会发展的新动力 277

第十一章 传统数学与中国社会 282

一、中国古代数学的成就 283

二、中国传统数学的兴盛、特色与古代社会 292

三、中国传统数学的停滞落后与明清社会 302

第十二章 数学研究的社会化历程 309

一、数学研究的职业化与数学家共同体的形成 310

二、数学家共同体的社会功能 314

三、数学学派与中心的形成 322

参考文献 329

后记 331