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第1章 函数 1

1.1 点集 1

1.1.1 集合的概念及简单运算 1

1.1.2 实数集 3

1.1.3 n维实空间Rn 5

习题1.1 7

1.2 函数 8

1.2.1 函数(映射)的概念 8

1.2.2 一元实函数 9

1.2.3 n元实函数 11

1.2.4 n元m维向量值函数 12

1.2.5 复变函数 13

习题1.2 15

第2章 一元函数的极限与连续 17

2.1 数列极限 17

2.1.1 概念 17

2.1.2 数列极限的性质 21

2.1.3 数列收敛性的判别准则 25

习题2.1 28

2.2 函数极限 29

2.2.1 概念 29

2.2.2 函数极限的性质 34

习题2.2 40

2.3 无穷小量与无穷大量 41

2.3.1 无穷小量的概念与性质 42

2.3.2 无穷小量的比较 43

习题2.3 45

2.4 连续函数 46

2.4.1 连续函数的概念 46

2.4.2 初等函数的连续性 49

2.4.3 闭区间上连续函数的性质 53

习题2.4 56

第2章 总习题 57

第3章 一元函数微分学及其应用 60

3.1 导数 60

3.1.1 导数概念与导数的几何意义 60

3.1.2 求导的基本法则 67

习题3.1 83

3.2 微分 86

3.2.1 微分概念 86

3.2.2 微分法则 89

3.2.3 高阶微分 90

3.2.4 微分在近似计算中的应用 90

习题3.2 92

3.3 微分学基本定理及其应用 93

3.3.1 微分中值定理 93

3.3.2 L′Hospital(洛必达)法则 99

3.3.3 Taylor(泰勒)定理 104

习题3.3 112

3.4 函数性态研究 115

3.4.1 函数的单调性 115

3.4.2 函数的极值 117

3.4.3 函数的最大(小)值 119

3.4.4 函数的凹凸性及性质 122

3.4.5 函数作图 124

3.4.6 平面曲线的曲率 127

习题3.4 132

第3章 总习题 134

第4章 一元函数积分学及其应用 138

4.1 定积分基本概念与性质 138

4.1.1 定积分问题举例 138

4.1.2 定积分的概念 140

4.1.3 定积分的性质 144

习题4.1 149

4.2 微积分学基本定理与基本公式 150

4.2.1 变限的定积分 151

4.2.2 Newton-Leibniz公式 153

4.2.3 不定积分的概念与基本公式 157

习题4.2 159

4.3 换元积分法 161

4.3.1 不定积分的换元积分法 161

4.3.2 定积分的换元积分法 173

习题4.3 176

4.4 分部积分法 178

4.4.1 不定积分的分部积分法 178

4.4.2 定积分的分部积分法 182

习题4.4 185

4.5 定积分的应用 186

4.5.1 建立积分表达式的微元法 186

4.5.2 定积分在几何中的应用举例 187

4.5.3 定积分在物理中的应用举例 195

习题4.5 199

4.6 反常积分的概念 201

4.6.1 无穷区间上的反常积分 201

4.6.2 无界函数的反常积分 204

习题4.6 206

4.7 微分方程的初等积分法 208

4.7.1 微分方程的基本概念 208

4.7.2 一阶可分离变量的微分方程 211

4.7.3 一阶线性微分方程 213

4.7.4 可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程 218

4.7.5 可降阶的高阶微分方程 222

习题4.7 225

第4章 总习题 228

第5章 多元函数微分学及其应用 233

5.1 极限与连续 233

5.1.1 极限的概念与性质 233

5.1.2 连续函数 235

习题5.1 236

5.2 多元函数微分法 237

5.2.1 偏导数与全微分 237

5.2.2 方向导数与梯度 245

习题5.2 248

5.2.3 微分运算法则 250

习题5.3 261

5.3 多元函数微分学的几何应用 263

5.3.1 空间曲线的切线与法平面 264

5.3.2 空间曲面的切平面与法线 267

习题5.4 270

5.4 多元函数的Taylor公式与极值 271

5.4.1 多元函数的Taylor公式 271

5.4.2 多元函数的极值 273

习题5.5 280

5.5 n元m维向量值函数的微分法 282

5.5.1 偏导数与全微分 282

5.5.2 微分运算法则 284

习题5.6 285

5.6 复变函数的导数与解析函数 286

5.6.1 复变函数导数的概念与性质 286

5.6.2 解析函数 292

5.6.3 初等函数及其简单性质 294

习题5.7 296

第5章总习题 298

附录1 复数的运算 301

附录2 Matlab软件简介 305

实验 324

习题参考答案 348