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目录 1

前言 1

第1章 NLS方程的哈密顿理论 1

1.1　NLS方程 1

1.1.1　NLS方程和变分原理 1

1.1.2　反散射法 2

1.1.3　约斯特解的性质 4

1.2　对u的变分 6

1.2.1　对u的变分 6

1.2.2 T（λ）间的泊松括号 7

1.2.3　约斯特解对 8

1.3.2　基本的泊松括号 9

1.3.1　计算公式 9

1.3　连续谱的泊松括号 9

1.3.3　连续谱的作用变量和角变量 11

1.4　守恒律 12

1.4.1　约斯特解的渐近行为 13

1.4.2　a（λ）的表示式 13

1.4.3　a（λ）有零点时的表示式 14

1.5　分离谱的泊松括号 15

1.5.1　分离谱的泊松括号 15

1.5.2　含有bn的泊松括号 17

1.5.3　分离谱时的作用变量和角变量 17

1.5.4　哈密顿形式 18

第1章附录　含bn的泊松括号 19

2.1.1　KdV方程和泊松括号 23

2.1 KdV方程 23

第2章 KdV方程的哈密顿理论 23

2.1.2　反散射法 24

2.1.3　约斯特解 25

2.1.4　单式矩阵的性质 26

2.2　对u的变分 27

2.2.1　对u的变分 27

2.2.2 T（k）间的泊松括号 28

2.2.3　约斯特解对 29

2.3　连续谱的泊松括号 29

2.3.1 计算公式 29

2.3.2　基本的泊松括号 30

2.3.3　连续谱的作用变量和角变量 32

2.4　守恒量 33

2.4.2　a（k）的表示式 34

2.4.1　约斯特解的渐近行为 34

2.5　分离谱的泊松括号 36

2.5.1　分离谱的泊松括号 36

2.5.2　含有bn的泊松括号 37

2.5.3　分离谱的作用变量和角变量 38

2.5.4　哈密顿理论 38

第3章　sine-Gordon方程的哈密顿理论 39

3.1　sine-Gordon方程 39

3.1.1　sine-Gordon方程和变分原理 39

3.1.2　反散射法和规范变换 40

3.1.3　约斯特解 41

3.2　对θ的变分 43

3.2.1　对θ的变分 43

3.2.2　T（ζ）元间的泊松括号 44

3.2.3　约斯特函数对的直积的组合 45

3.3　连续谱时的泊松括号 47

3.3.1　计算公式 47

3.3.2　反向问题 47

3.3.3　连续谱的泊松括号 47

3.3.4　连续谱的作用变量和角变量 49

3.4　守恒律 51

3.4.1 约斯特解在｜ζ｜→∞时的渐近行为 51

3.4.2　a（ζ）的表示式Ⅰ 52

3.4.3　约斯特解在｜ζ｜→0时的渐近行为 53

3.4.4　a（ζ）的谱参数表示式Ⅱ 55

3.5　分离谱时的泊松括号 56

3.5.1　分离谱时的泊松括号 56

3.5.2　与bn无关的泊松括号 57

3.5.3　含bn的泊松括号 58

3.5.4　分离谱的作用变量和角变量 59

3.5.5　分离谱的哈密顿理论 59

第4章 UNLS方程的哈密顿理论 62

4.1 非稳定的NLS方程 62

4.1.1 非稳定的NLS方程和泊松括号 62

4.1.2　约斯特解 63

4.2　对u（x）的变分 65

4.2.1　对u（x）的变分 65

4.2.2 T（λ）的元间的泊松括号 66

4.2.3　约斯特解对的直积 67

4.2.4　基本计算公式 68

4.3.2　实数情况的泊松括号 69

4.3　实数连续谱时的泊松括号 69

4.3.1　实数情况下的基本公式 69

4.3.3　实数情况的作用变量和角变量 70

4.4　虚数连续谱的泊松括号 70

4.4.1　虚数情况下的基本公式 70

4.4.2　虚数情况的泊松括号 71

4.4.3　虚数情况的作用变量和角变量 72

4.5　守恒律 73

4.5.1　约斯特解的渐近行为 73

4.5.2　a（λ）的表示式 74

4.6　分离谱的泊松括号 76

4.6.1　分离谱的泊松括号 76

4.6.3　分离谱时的作用变量和角变量 78

4.6.2　含有bn的泊松括号 78

4.6.4　哈密顿理论 79

第5章　DNLS方程的哈密顿理论 80

5.1 DNLS方程和泊松括号 80

5.1.1 DNLS方程和泊松括号 80

5.1.2　约斯特解 81

5.2　对u（x）的变分 84

5.2.1　对u（x）的变分 84

5.2.2 T（λ）元间的泊松括号 85

5.2.3　约斯特解对的直积 86

5.2.4　基本计算公式 87

5.3　实数连续谱时的泊松括号 87

5.3.1　实数情况下的基本公式 87

5.3.2　实数情况的泊松括号 88

5.3.3　实数情况的作用变量和角变量 89

5.4.1　虚数情况下的基本公式 90

5.4　虚数连续谱时的泊松括号 90

5.4.2　虚数连续谱时的泊松括号 91

5.4.3　虚数情况下的作用变量和角变量 91

5.5　守恒律 92

5.5.1　约斯特解的渐近行为 92

5.5.2　a（λ）的表示式 93

5.6　分离谱时泊松括号 95

5.6.1　分离谱时泊松括号 95

5.6.2　含有bn的泊松括号 97

5.6.3　分离谱时的作用变量和角变量 98

5.6.4　哈密顿形式 98

6.1.1　变分原理和泊松括号 100

第6章　NLS+方程的哈密顿理论 100

6.1 NLS+方程和变分原理 100

6.1.2　约斯特解 102

6.1.3　单式矩阵 103

6.1.4　约化变换 104

6.1.5　零点位置 105

6.2　对u（x）的变分 105

6.2.1　对u（x）的变分 105

6.2.2 T（λ）的元间的泊松括号 106

6.2.3　约斯特解对的直积 107

6.3　连续谱时的泊松括号 108

6.3.1　基本计算公式 108

6.3.2　基本的泊松括号 109

6.3.3　连续谱时的作用变量和角变量 112

6.4　守恒量 113

6.4.1　约斯特解的渐近行为 113

6.4.2　a（λ）的表示式 114

6.5　分离谱的泊松括号 114

6.5.1　分离谱的泊松括号 114

6.5.2　含有bn的泊松括号 116

6.5.3　分离谱的作用变量和角变量 117

6.6　哈密顿形式和常数相的佯谬 118

6.6.1　哈密顿形式 118

6.6.2　常数相的佯谬 118

第7章 各向同性L-L方程的哈密顿理论 121

7.1 L-L方程的李-泊松括号 121

7.1.1　L-L方程 121

7.1.2 自旋的李-泊松括号 122

7.2　反散射法 123

7.2.1　相容性方程 123

7.3　变分 124

7.3.1　变分 124

7.3.2　基本的李-泊松括号 125

7.3.3　约斯特解对的直积 125

7.4　完全各向同性自旋情况 128

7.4.1　连续谱的泊松括号 128

7.4.2　完全各向同性情况的作用变量和角变量 129

7.5 守恒量 130

7.5.1 守恒量的过去的推导 130

7.5.2　与NLS方程的规范等价性 131

7.6.1　分离谱的哈密顿量 133

7.6　分离谱 133

7.5.3　正确的守恒律 133

7.6.2　分离谱的泊松括号 134

7.6.3　分离谱的作用变量和角变量 134

第8章 具轴对称的L-L方程的哈密顿理论 136

8.1 具易磁化轴情况的泊松括号 136

8.1.1　具易磁化轴情况的基本公式 136

8.1.2　｛T（ζ）？T-1（ζ'）｝ 138

8.2 具易磁化轴时连续谱的作用变量和角变量 139

8.2.1　连续谱时的作用变量和角变量 139

8.2.2　规范变换 140

8.2.3　具易磁化轴情况的守恒律 141

8.2.4　具易磁化轴情况的a（ζ） 142

8.3.1　分离谱的a（ζ）和李-泊松括号 143

8.3　具易磁化轴情况的分离谱 143

8.3.2　分离谱的作用变量和角变量 144

8.4　具易磁化面情况的泊松括号 144

8.4.1　具易磁化面情况的基本公式 144

8.4.2　具易磁化面时连续谱时的作用变量和角变量 147

8.4.3　具易磁化面时连续谱时的守恒量 149

8.5 具易磁化面时的分离谱情况 149

8.5.1　分离谱情况的基本公式 149

8.5.2　分离谱的作用变量和角变量 150

第9章 完全各向异性的L-L方程的哈密顿理论 151

9.1　完全各向异性情况的L-L方程 151

9.1.1　完全各向异性L-L方程 151

9.2　反散射法 152

9.2.1　相容性方程 152

9.1.2 自旋的李-泊松括号 152

9.2.2　约斯特解 153

9.3　变分 154

9.3.1 变分 154

9.3.2　约斯特解对的直积 155

9.4　完全各项异性情况的基本泊松括号 157

9.4.1 完全各项异性情况的基本泊松括号 157

9.4.2　作用变量和角变量 158

9.5 守恒律的导出 159

9.5.1 ｜λ｜→0情况 159

9.5.2　简单推导守恒律的失误 160

9.5.3　完全各向异性时规范变换的结果 161

9.6.1 ｜λ｜→0情况 163

9.6　色散关系 163

9.5.4　守恒律 163

9.6.2 a（λ）的色散关系 164

9.7　分离谱 164

9.7.1　分离谱的ad（λ） 164

9.7.2　分离谱情况的李-泊松括号 165

9.7.3　分离谱情况的作用变量和角变量 166

参考文献 167

附录 171

附录A　泊松括号的直积形式 171

附录B 约斯特解对的直积形式 173

附录C 约斯特解的渐近值（亮） 175

附录D 约斯特解的渐近值（暗） 176

附录E　计算举例 179

附录F　主值公式 180