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目录 1

前言 1

第一章 引论 1

一、证明的意义和结构 1

1．中学的数学问题大量的是哪几类？本书讨论什么？ 1

2．什么叫做证明？ 1

3．什么是逻辑学？谁是逻辑之父？ 2

4．形式逻辑的四条思维规律的内容和意义是什么？它们之间的关系如何？ 3

5．什么是三段论法？它的依据是什么？ 5

6．有不加证明的真命题吗？ 7

7．证明的结构是什么？ 7

8．哪些命题可以作为论据？ 7

9．证明和推理有何联系与区别？ 7

二、命题的结构、形式和条件 8

10．命题的结构和标准形状是什么？ 8

11．什么是联合式命题、分断式命题？ 9

13．怎样认识改隐式为显式？ 10

12．什么叫定理、系、引理？ 10

14．命题有哪几种形式？它们的相互关系是什么？ 11

15．为什么原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别是等价命题？ 12

16．一个命题只有一个逆命题吗？ 13

17．什么情况下，原命题正确，逆命题就一定是正确的？ 15

18．什么是充分条件、必要条件、充要条件？ 17

三、论证的分类 19

19．数学论证方法有哪些种类？ 19

21．论据应符合哪些要求？ 21

四、证明的规则 21

20．论题应注意哪些问题？ 21

22．论证应遵守哪些规则？ 22

23．错在哪里？ 23

第二章　常用论证方法 30

一　综合法 30

24．什么是综合法？ 30

25．应用综合法的思考过程是怎样的？ 30

26．综合法的叙述形式是什么？ 32

27．怎样用综合法证题？ 35

28．综合法和综合有什么联系与区别？ 39

二　分析法 40

29．什么是分析法？它和综合法有什么区别？ 40

30．应用分析法的思考过程是怎样的？ 41

31．分析法的叙述形式是什么？ 44

32．分析法和分析有什么区别与联系？ 45

33．在证题中怎样发挥分析法与综合法各自的优势？ 45

34．什么是比较法？试举例说明 48

35．分析法、综合法、比较法可以联合应用吗？ 49

三　反证法 51

36．什么是反证法？它的根据是什么？ 51

37．怎样否定结论？ 51

38．怎样把反论题归引到谬误？ 53

39．怎样应用穷举法？ 54

40．反证法有何特点？在什么情况下使用它更好些？ 56

43．怎样用同一法证明几何命题？ 59

42．什么是同一法？它的根据是什么？ 59

四 同一法 59

41．反证法与分析法有何区别与联系？………………（5？） 59

44．怎样用同一法证明恒等式？ 61

五　穷举归纳法 63

45．什么是穷举归纳法？在什么情况下使用它？ 63

46．应用穷举归纳法时，应注意什么问题？ 64

六　数学归纳法 67

47．什么是数学归纳法？它的依据是什么？ 67

48．数学归纳法的两步有什么关系？少一步行不行？ 69

49．第二步中k是任意自然数，k+1也是任意自然数，它俩有什么区别？ 72

50．是否第一步必须是n=1呢？ 73

51．是否第一步只需要验证n=1时成立就可以了？ 73

52．第二步的实质是什么？应注意什么？ 74

53．第二步中证n=k+1真，不用n=k真行不行？ 75

54．什么是第二归纳法？它与数学归纳法有什么关系？ 76

55．哪种与自然数有关的命题才用数学归纳法？ 77

56．谁最早使用数学归纳法？ 80

57．什么是递归法？它与数学归纳法有什么关系？ 81

七　递归法 81

58．什么问题宜于用递归法？谁最早使用递归法？ 82

59．递归法的特点是什么？怎样使用递归法？ 85

八　小结 87

60．常用证法的相互关系如何？怎样联合运用？ 87

第三章　形数结合 92

一　解析法 92

61．形数结合对于论证数学问题有什么重要作用？ 92

62．什么是解析法？它的步骤是什么？ 93

63．怎样选择适当的直角坐标系及适当的坐标？ 94

64．几何问题都能用解析法吗？怎样发挥它的优势？ 96

65．在反证法中能否用解析法？ 98

66．何时选用极坐标系为宜？ 99

67．什么是斜坐标系？在此坐标系下，解析几何的一些基本公式有何变化？ 101

68．只用直尺不用圆规能平分一条线段吗？ 103

二　几何、三角题的代数证法 105

69．几何问题怎样用代数证法？ 105

70．三角问题怎样用代数证法？ 109

71．几何问题何以能够三角化？ 112

三　几何、代数题的三角证法 112

72．几何问题的三角证法有何优点？ 115

73．代数问题怎样进行三角代换？ 120

74．怎样用三角等式证代数等式？ 122

四　代数、三角题的几何证法 123

75．几何证法的优点何在？ 123

76．一些重要不等式的几何意义是什么？ 124

77．怎样用图形构造法证明代数问题？ 125

78．怎样用图形构造法证明三角问题？ 126

79．怎样挖掘问题的几何性质，形数结合地解决问题？ 129

80．怎样形数结合地研究线性函数的极值问题？ 132

81．怎样充分运用图形的几何性质建立动点的轨迹方程？ 134

五　几何、三角题的复数证法 135

82．为什么可以用复数证一些几何与三角问题？ 135

83．怎样用复数证明一些平面几何问题？ 137

84．怎样用复数表示解析几何公式？ 142

86．怎样用复数求动点的轨迹方程？ 143

85．怎样用复数证明转轴公式？ 143

87．怎样用复数证明一些三角公式？ 144

88．怎样巧用复数开方求一些特殊的三角函数式的值？ 148

89．怎样用复数证明一些组合数公式？ 150

第四章　提高证题能力 152

一　寻求证题途径 152

90．怎样努力提高证题能力？ 152

91．证题的一般步骤和关键是什么？ 152

92．怎样运用综合分析法？ 154

93．怎样运用类比联想法？ 157

94．怎样运用观察试验法？ 159

95．怎样运用矛盾转化法？ 163

96．怎样运用归纳猜想法？ 168

二　证题后的回顾 172

97．证题后为什么要回顾？回顾什么？ 172

98．什么是基本量方法？怎样应用这种方法解题？ 174

100．怎样寻求几何题的多种解法？ 179

99．一题多解有什么好处？ 179

三　一题多解 179

101．怎样寻求三角题的多种解法？ 183

102．怎样寻求代数题的多种解法？ 186

四 多题一解 191

103．什么是多题一解？它有什么好处？ 191

104．怎样根据题中应用的主要知识来归类？ 192

105．怎样根据证题的基本方法来归类？ 193

五　注意问题的推广 195

106．注意问题的推广有什么好处？ 195

107．怎样将一些数学问题进行推广？ 196

六　综合题举例 203

108．什么是综合题？其基本解题思路是什么？ 203

109．怎样证明费马小定理？ 206

110．怎样证明一道有关充要条件的问题？ 207

111．圆内接正n边形的周长与内接正n+1边形的周长哪个大？ 211

112．nn+1与（n+1）n孰大孰小？ 214