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第1章 复数与复变函数 1

1.1复数及其运算 1

1.知识要点 1

2.解题示例 1

类型1复数表达式的转换 1

类型2复数的计算 2

类型3利用复数解实数问题 4

1.2复变函数 6

1.知识要点 6

2.解题示例 6

类型1确定复数表达式所描述的区域 6

类型2映射区域的确定 7

1.3解析函数的基本性质 8

1.知识要点 8

2.解题示例 8

类型1证明解析函数的某种性质 8

类型2由解析函数的实部（或虚部）求解析函数 12

类型3判断函数的解析性 17

第2章 复变函数的积分与级数展开 19

2.1复变函数的积分 19

1.知识要点 19

2.解题示例 20

类型1非闭合路径上的复积分 20

类型2回路积分 21

类型3利用回路积分计算无穷积分 24

2.2复变函数级数的一般性质 27

1.知识要点 27

2.解题示例 27

类型1求幂级数的收敛半径 27

类型2将给定函数展开为幂级数 28

2.3复变函数的泰勒级数 30

1.知识要点 30

2.解题示例 30

类型1利用导数求展开系数 30

类型2利用几何级数公式做泰勒展开 31

类型3利用已知函数的展开式求展开系数 31

2.4罗朗级数 32

1.知识要点 32

2.解题示例 33

类型1利用几何级数公式求罗朗展开式 33

类型2利用已知函数的级数求罗朗展开式 33

第3章 复变函数的奇点与多值性 35

3.1复变函数的奇点 35

1.知识要点 35

2.解题示例 36

类型1判断有限远奇点的类型 36

类型2对无穷远点奇异性的判断 36

3.2多值函数 37

1.知识要点 37

2.解题示例 37

类型1确定多值函数的枝点 37

类型2确定多值函数的值 39

第4章 留数及其在积分中的应用 41

4.1留数 41

1.知识要点 41

2.解题示例 41

类型1用求导法计算留数 41

类型2用比较系数法计算留数 42

类型3利用留数定理计算回路积分 43

4.2留数在三角函数积分中的应用 45

1.知识要点 45

2.解题示例 45

类型1被积函数为三角函数的幂次函数 45

类型2被积函数为三角函数的分式函数 46

4.3留数在实函数无限积分中的应用 47

1.知识要点 47

2.解题示例 49

类型1实轴上无奇点时的积分 49

类型2实轴上有一阶极点时的积分 51

类型3被积函数包含三角函数时的积分 52

类型4被积函数在无穷远处不为0时的积分 53

4.4多值函数沿割线的积分 54

1.知识要点 54

2.解题示例 54

类型1 za型的多值函数 54

类型2？z2-a2型的多值函数 58

第5章 保角映射 61

1.知识要点 61

2.解题示例 62

类型1根据映射式求映像 62

类型2根据映像或对应点求映射式 67

第6章 数学物理问题的建立 80

6.1机械波问题 80

1.知识要点 80

2.解题示例 81

类型1振动方程的导出 81

类型2定解条件的确定 85

6.2热传导问题 87

1.知识要点 87

2.解题示例 89

类型1写热传导方程 89

类型2确定定解条件 90

第7章 本征值问题与分离变量法 93

7.1 S-L型方程的本征值问题 93

1.知识要点 93

2.解题示例 94

类型1求常系数方程的本征函数 94

类型2求函数的本征函数展开式 97

7.2一维驻波问题 98

1.知识要点 98

2.解题示例 99

类型1两端固定的弦振动 99

类型2一端自由的振动问题 103

类型3对称性条件的利用 106

7.3一维热传导问题 107

1.知识要点 107

2.解题示例 107

类型1两端皆为第一类齐次边界条件 107

类型2两端分别为第一类和第二类齐次边界条件 109

类型3第三类齐次边界条件下的热传导问题 110

7.4矩形区域问题 112

1.知识要点 112

2.解题示例 113

类型1矩形板的热传导问题 113

类型2矩形膜的振动问题 115

类型3矩形区域中的静电场分布 117

7.5平面极坐标系中拉普拉斯方程的分离变量 118

1.知识要点 118

2.解题示例 120

类型1圆域问题 120

类型2扇形域问题 122

7.6非齐次方程与非齐次边界条件的处理 126

1.知识要点 126

2.解题示例 127

类型1方程非齐次项不含时间的初值问题 127

类型2方程非齐次项含时间的初值问题 130

类型3用比较系数法求解非齐次方程的边值问题 132

类型4利用非齐次方程求解二维齐次方程 133

第8章 线性常微分方程的级数解法 136

1.知识要点 136

2.解题示例 137

类型1求常点附近的级数解 137

类型2判断奇点的正则性 141

类型3求正则奇点附近的正则解 143

第9章 勒让德多项式与球函数 147

9.1勒让德多项式 147

1.知识要点 147

2.解题示例 149

类型1递推关系的应用 149

类型2把函数按Pl （x）展开 150

9.2连带勒让德多项式 154

1.知识要点 154

2.解题示例 155

类型1利用递推关系计算积分 155

类型2由递推公式导出递推公式 156

9.3球函数 157

1.知识要点 157

2.解题示例 158

类型1用比较系数法将函数按球函数展开 158

类型2非轴对称边值问题的解 158

第10章 贝塞尔函数 161

10.1柱函数概述 161

1.知识要点 161

2.解题示例 162

类型1利用贝塞尔函数的级数表示进行分析 162

类型2递推公式的应用 164

类型3利用生成函数进行分析 165

10.2贝塞尔函数的本征值问题 167

1.知识要点 167

2.解题示例 168

类型1轴对称问题 168

类型2非轴对称问题 170

10.3虚宗量贝塞尔函数 173

1.知识要点 173

2.解题示例 174

类型1推导函数之间的关系 174

类型2利用递推公式求积分 176

10.4球贝塞尔函数 176

1.知识要点 176

2.解题示例 177

类型1推导递推关系 177

类型2本征值问题 178

第11章 傅里叶变换和拉普拉斯变换 181

11.1傅里叶变换 181

1.知识要点 181

2.解题示例 182

类型1有限或半无限区间上的傅里叶变换 182

类型2在无界区间上的傅里叶变换 183

类型3在定解问题中的应用 184

11.2拉普拉斯变换 187

1.知识要点 187

2.解题示例 188

类型1求函数的拉普拉斯变换 188

类型2求拉普拉斯反演 191

类型3利用拉普拉斯变换求卷积 194

类型4在定解问题中的应用 195

第12章 δ函数 解非齐次方程的格林函数法 202

12.1 δ函数 202

1.知识要点 202

2.解题示例 204

类型1 δ函数的函数序列极限表达式 204

类型2含δ函数的积分 205

类型3在求导中的应用 206

类型4本征函数组完备性条件的导出 206

12.2稳定场的格林函数 208

1.知识要点 208

2.解题示例 209

类型1求无界空间中的格林函数（基本解） 209

类型2求边值问题的格林函数 214

类型3用格林函数写出边值问题的形式解 218

12.3时变场的格林函数 219

1.知识要点 220

2.解题示例 221

类型1求含时格林函数 221

类型2用格林函数法求定解问题的解 227