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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的共轭复数 2

1.1.3 复数的代数运算 2

习题1.1 3

1.2 复数的表示法 3

1.2.1 复平面 3

1.2.2 复数的向量表示 4

1.2.3 复数的三角表示与指数表示 5

1.2.4 无穷远点与复球面 6

习题1.2 8

1.3 复数的运算及几何意义 8

1.3.1 复数的加法和减法 8

1.3.2 复数的乘法和除法 9

1.3.3 复数的幂与方根 11

习题1.3 13

1.4 曲线与区域 14

1.4.1 曲线的复数方程 14

1.4.2 复平面区域 15

1.4.3 简单曲线与区域的连通性 16

习题1.4 18

1.5 复变函数 18

1.5.1 复变函数的概念 19

1.5.2 复变函数与实变函数的关系 19

1.5.3 映射的概念 19

习题1.5 22

1.6 复变函数的极限和连续 22

1.6.1 复变函数的极限 22

1.6.2 函数的连续性 24

习题1.6 26

本章小结 26

复习题1 28

第2章 解析函数 30

2.1 复变函数的导数与解析函数 30

2.1.1 复变函数的导数 30

2.1.2 复变函数的微分 32

2.1.3 解析函数的概念 33

习题2.1 34

2.2 函数解析的充要条件 34

习题2.2 39

2.3 初等函数 39

2.3.1 指数函数 40

2.3.2 对数函数 41

2.3.3 幂函数 42

2.3.4 三角函数与双曲函数 43

2.3.5 反三角函数与反双曲函数 45

习题2.3 46

本章小结 47

复习题2 49

第3章 复变函数的积分 51

3.1 复变函数积分的概念与性质 51

3.1.1 复变函数积分的定义 51

3.1.2 复变函数积分的性质 52

3.1.3 复变函数积分存在的条件及其计算法 53

习题3.1 55

3.2 柯西积分定理及其推广 56

3.2.1 柯西积分定理 56

3.2.2 复变函数积分的牛顿-莱布尼茨公式 57

3.2.3 复合闭路定理 60

习题3.2 61

3.3 柯西积分公式及其推论 62

3.3.1 柯西积分公式 62

3.3.2 解析函数的高阶导数公式 65

习题3.3 67

3.4 解析函数与调和函数 68

3.4.1 调和函数的概念 68

3.4.2 解析函数与调和函数的关系 69

习题3.4 70

本章小结 71

复习题3 73

第4章 复级数 75

4.1 复数项级数 75

4.1.1 复数列的极限 75

4.1.2 复数项级数的概念 76

习题4.1 78

4.2 幂级数 78

4.2.1 复函数项级数的概念 78

4.2.2 幂级数的概念及其收敛性 79

4.2.3 幂级数的收敛圆与收敛半径 80

4.2.4 幂级数的运算性质 82

习题4.2 83

4.3 泰勒级数 84

4.3.1 泰勒展开定理 84

4.3.2 将解析函数展开成泰勒级数的方法 86

习题4.3 87

4.4 罗朗级数 88

4.4.1 罗朗级数的概念及性质 88

4.4.2 罗朗展开定理 89

习题4.4 93

本章小结 93

复习题4 96

第5章 留数理论及其应用 98

5.1 孤立奇点 98

5.1.1 孤立奇点的定义 98

5.1.2 孤立奇点的分类 98

5.1.3 函数在孤立奇点的极限性态 99

5.1.4 函数的极点与零点的关系 100

5.1.5 函数在无穷远点的性态 103

习题5.1 105

5.2 留数 105

5.2.1 留数的概念 105

5.2.2 留数的计算 106

5.2.3 留数定理及其应用 109

5.2.4 无穷远点的留数及其应用 111

习题5.2 113

5.3 留数在实积分中的应用 113

5.3.1 计算∫2π 0 R（cos θ，sin θ）dθ型积分 114

5.3.2 计算∫＋∞ -∞ P(x)/Q(x) dx型积分 115

5.3.3 计算∫＋∞ -∞ f（x）e？dx（a＞0）型积分 117

5.3.4 计算被积函数在实轴上有孤立奇点的积分 119

习题5.3 120

5.4 对数留数与幅角原理 121

5.4.1 对数留数 121

5.4.2 幅角原理 122

5.4.3 儒歇定理 123

习题5.4 125

本章小结 125

复习题5 129

第6章 Fourier变换 131

6.1 Fourier积分 131

6.1.1 周期函数的Fourier级数 131

6.1.2 非周期函数的Fourier积分 132

习题6.1 137

6.2 Fourier变换 137

6.2.1 Fourier变换及正弦与余弦变换 137

6.2.2 Fourier变换的物理意义 141

习题6.2 142

6.3 单位脉冲函数 143

6.3.1 引例 143

6.3.2 δ-函数的定义 144

6.3.3 δ-函数的性质 145

6.3.4 δ-函数的Fourier变换 146

习题6.3 147

6.4 Fourier变换的性质 148

习题6.4 151

6.5 卷积与相关函数及能量谱密度 152

6.5.1 卷积 152

6.5.2 相关函数 154

6.5.3 能量谱密度函数 155

6.5.4 相关函数与能量谱密度函数的关系 156

习题6.5 157

本章小结 157

复习题6. 159

第7章 Laplace变换 161

7.1 Laplace变换的概念 161

7.1.1 Laplace变换的定义 162

7.1.2 Laplace变换存在定理 163

7.1.3 周期函数的Laplace变换 165

习题7.1 166

7.2 Laplace变换的性质 166

习题7.2 171

7.3 卷积 172

7.3.1 卷积概念 172

7.3.2 卷积定理 172

习题7.3 174

7.4 Laplace逆变换 174

习题7.4 177

7.5 Laplace变换的应用 177

7.5.1 求解常系数线性微分方程和微积分方程 178

7.5.2 求解变系数微分方程 180

7.5.3 求解方程组 182

习题7.5 184

本章小结 185

复习题7 186

部分习题答案 188

参考文献 202

附录1 Fourier变换表 203

附录2 Laplace变换表 206