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第一章 线性算子谱逼近 1

1.1 预备知识 2

1.1.1 投影对及子空间之间的间隙 2

1.1.2 线性有界算子序列的收敛性 4

1.2 谱论初步 7

1.2.1 正则集、谱集和豫解算子 7

1.2.2 算子值函数积分 11

1.2.3 谱投影与谱分解 11

1.2.4 L（X）中算子序列的稳定收敛 15

1.3 谱逼近 17

1.3.1 谱σ（Th）∩△的收敛性 17

1.3.2 保持代数重数收敛 20

1.3.3 不变子空间和特征函数的收敛 22

1.4 全连续算子谱逼近 23

1.4.1 Banach空间全连续算子谱逼近 23

1.4.2 Hilbert空间自共轭全连续算子谱逼近 29

第二章 有限元法数学理论基础知识 34

2.1 Sobolev空间与微分方程广义解 34

2.1.1 Sobolev空间 34

2.1.2 椭圆边值问题广义解 39

2.1.3 边值问题的正则性估计 42

2.2 椭圆边值问题有限元方法 44

2.2.1 有限元空间 44

2.2.2 有限元法 50

2.3 椭圆边值问题有限元法误差估计 51

2.3.1 插值函数的误差 51

2.3.2 Céa引理 52

2.3.3 Aubin-Nitsche技巧 54

2.3.4 Ws,p（s=0,1）模估计、局部估计 55

2.4 椭圆边值问题有限元超收敛性 56

2.4.1 超收敛与插值弱估计 56

2.4.2 插值后处理与成片超收敛性 60

第三章 特征值问题协调有限元法 65

3.1 抽象结果 65

3.1.1 变分形式与有限元 65

3.1.2 最小最大原理 68

3.1.3 收敛性与误差估计 72

3.1.4 超逼近 78

3.2 二阶微分算子特征值问题协调有限元法 81

3.2.1 协调有限元方法 81

3.2.2 协调有限元先验误差估计 85

3.2.3 协调有限元超收敛性 87

3.2.4 Rayleigh商加速 88

3.3 四阶微分算子特征值问题协调有限元法 91

3.3.1 变分形式与协调有限元格式 91

3.3.2 双三次Hermite元超收敛性与Rayleigh商加速 92

3.4 协调元后验误差分析 93

3.4.1 协调元后验误差恒等关系式及其应用 94

3.4.2 基于插值后处理的重构型后验误差估计 99

3.4.3 有限元可计算的误差界 101

3.5 凹角域问题 105

3.5.1 凹角域问题的局部加密方法 106

3.5.2 用插值校正计算凹角域问题 108

3.6 基于2-网格离散的局部并行有限元方法 114

3.6.1 2-网格离散方法 114

3.6.2 基于2-网格离散的局部并行有限元方法 116

3.7 非自共轭特征值问题协调有限元方法 118

第四章 特征值问题非协调有限元法 121

4.1 分片检验与Strang引理 121

4.2 特征值问题非协调元方法及其基本关系式 131

4.3 特征值问题的Wilson元逼近 137

4.3.1 边值问题Wilson元整体应力超收敛性 137

4.3.2 特征值问题Wilson元误差估计与整体应力超收敛性 140

4.3.3 用Wilson元求特征值下界 142

4.4 特征值问题的C-R元，EQrot 1元和Qrot 1元逼近 144

4.4.1 收敛性与误差估计 144

4.4.2 C-R元，EQrot 1元和Qrot 1元与特征值下界 145

4.5 平板振动问题的Adini和Morley非协调元逼近 147

4.5.1 Adini非协调元与特征值下界 149

4.5.2 Morley非协调元与特征值下界 155

4.6 非协调元后验误差分析 159

4.6.1 非协调元后验误差恒等关系式及其应用 159

4.6.2 基于插值后处理的重构型后验误差估计 164

4.7 非协调有限元2-网格离散方案 165

第五章 特征值问题混合有限元法 168

5.1 基础理论 168

5.1.1 Brezzi-Babuska定理 168

5.1.2 特征值问题混合有限元法Ⅰ 172

5.1.3 特征值问题混合有限元法Ⅱ 177

5.2 椭圆微分算子特征值问题混合有限元法 181

5.2.1 薄膜振动混合有限元法 181

5.2.2 重调和算子特征值问题混合有限元法 186

5.3 Stokes特征值问题混合有限元法 189

5.3.1 Stokes特征值问题混合有限元法 189

5.3.2 Mini混合有限元 193

5.3.3 P1-P1混合有限元 196

5.3.4 Q1-P0混合有限元 199

5.3.5 数值实验 202

5.4 电磁场特征值问题混合有限元法 205

5.4.1 混合变分公式与有限元离散 205

5.4.2 收敛性与误差估计 209

5.4.3 数值实验 213

参考文献 216