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第1章 方程式解成根式的问题·二项方程式 1

1 方程式解成根式的问题·历史的回顾 1

2 二项方程式 9

第2章 代数方程式的古典解法 16

1 一次、二次方程式 16

2 三次方程式 19

3 四次方程式 38

4 三次方程式的其他解法 50

5 契恩豪斯的变量替换法 53

6 五次方程式的布灵—杰拉德正规式 58

第3章 数域上的多项式 68

1 数域·数域上的多项式 68

2 一元多项式的可除性及其性质 73

3 多项式的最大公因式 81

4 贝祖定理·韦达公式 90

5 数域的代数扩张 94

6 数域的有限扩张 102

第4章 对称多项式 114

1 含多个未知量的多项式的基本概念 114

2 两个预备定理 117

3 问题的提出·未知量的置换 121

4 对称多项式·基本定理 125

第5章 用根的置换解代数方程 133

1 拉格朗日的方法·利用根的置换解三次方程式 133

2 利用根的置换解四次方程式 138

3 求解代数方程式的拉格朗日程序 141

第6章 置换·群 147

1 置换 147

2 对称性的描述·置换群的基本概念 156

3 一般群的基本概念 160

4 子群·群的基本性质 162

5 根式解方程式的对称性分析 166

第7章 论四次以上方程式不能解成根式 170

1 方程式解成根式作为域的代数扩张 170

2 第一个证明的预备 173

3 不可能的第一证明·鲁菲尼—阿贝尔定理 187

4 第二个证明的预备 193

5 不可能的第二证明·克罗内克定理 200

第8章 有理函数与置换群 209

1 引言·域上方程式的群 209

2 伽罗瓦群作为伽罗瓦预解方程式诸根间的置换群 213

3 例子 218

4 根的有理函数的对称性群 222

5 有理函数的共轭值（式）·预解方程式 225

6 伽罗瓦群的缩减 231

7 伽罗瓦群的实际决定法 234

第9章 以群之观点论代数方程式的解法 238

1 利用预解方程式解代数方程式 238

2 预解方程式均为二项方程式的情形 241

3 正规子群·方程式解为根式的必要条件 244

4 可解群·交错群与对称群的结构 248

5 预解方程式的群 258

6 商群 260

7 群的同态 262

第10章 分圆方程式的根式解 266

1 分圆方程式的概念 266

2 十一次以下的分圆方程式 272

3 分圆方程式的根式可解性 275

4 高斯解法的理论基础 280

5 分圆方程式的高斯解法·十七次的分圆方程式 284

6 用根式来表示单位根 289

第11章 循环型方程式·阿贝尔型方程式 293

1 可迁群 293

2 循环方程式 298

3 阿贝尔型方程式 305

4 循环方程式与不变子群·方程式解为根式的充分条件 311

第12章 抽象的观点·伽罗瓦理论 315

1 同构及其延拓 315

2 以同构的观点论伽罗瓦群 320

3 正规域的性质·正规扩域 324

4 代数方程式的群的性质 329

5 代数方程式可根式解的充分必要条件 337

6 推广的伽罗瓦大定理·充分性的证明 342

7 推广的伽罗瓦大定理·必要性的证明 345

8 应用 355

参考文献 359