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第零章 预备知识 1

0.1 2、3阶行列式 1

0.2 行列式的性质 4

0.3 求和号与连乘符号 9

0.4 数域 12

习题零 13

第一章 空间与向量 14

1.1 向量与空间直角坐标系 14

1.1.1 向量的基本概念 14

1.1.2 向量的线性运算及投影 15

1.1.3 空间直角坐标系 17

1.2 向量的内积、外积与混合积 19

1.2.1 内积 19

1.2.2 外积 21

1.2.3 混合积 23

1.2.4 向量间的关系 24

1.3 空间平面及其方程 25

1.3.1 平面的点法式方程 25

1.3.2 平面的一般式方程 26

1.3.3 平面的截距式方程 27

1.3.4 平面的三点式方程 28

1.3.5 同轴平面束 28

1.4 空间直线及其方程 29

1.4.1 直线的点向式方程与参数式方程 29

1.4.2 直线的一般式方程 30

1.5 位置关系、夹角与距离 32

1.5.1 两平面间的关系 32

1.5.2 直线与平面间的关系 32

1.5.3 两直线间的关系 33

1.5.4 直线和平面相互间的夹角 34

1.5.5 距离 35

习题一 37

第二章 线性方程组 40

2.1 线性方程组的解法 40

2.2 线性方程组解的情况的判定 45

2.3 齐次线性方程组 48

习题二 50

第三章 行列式 52

3.1 n元排列 52

3.2 n阶行列式 54

3.3 行列式的性质 56

3.4 行列式的展开公式 61

3.5 克拉默（Cramer）法则 68

习题三 70

第四章 矩阵代数 72

4.1 矩阵及其运算 72

4.1.1 加法和数乘 72

4.1.2 乘法 73

4.1.3 转置 75

4.1.4 矩阵的运算与行列式 76

4.2 分块矩阵 78

4.2.1 分块矩阵 78

4.2.2 初等矩阵与初等变换 81

4.3 可逆矩阵 83

习题四 88

第五章 向量空间 90

5.1 n维向量空间 90

5.1.1 n维向量空间与子空间 91

5.1.2 向量组的线性组合与线性表出 91

5.2 向量组的线性相关性 93

5.3 向量组的秩 97

5.3.1 两个向量组的关系 97

5.3.2 极大线性无关组 98

5.3.3 向量组的秩 99

5.3.4 向量（子）空间的基与维数 100

5.4 矩阵的秩 101

5.4.1 矩阵的三种秩 101

5.4.2 矩阵秩的计算 102

5.4.3 三种秩的统一 103

5.4.4 矩阵秩的性质 103

5.5 线性方程组的解理论 104

5.5.1 齐次线性方程组有非零解的条件 104

5.5.2 齐次线性方程组的解空间与基础解系 105

5.5.3 非齐次线性方程组有解的条件 109

5.5.4 非齐次线性方程组有解时解的结构 110

5.5.5 R3中三个平面的位置关系 113

5.6 欧氏空间 114

5.6.1 内积与欧氏空间 114

5.6.2 内积与度量 115

5.6.3 一个矩阵秩的例子 116

5.6.4 标准正交基和正交矩阵 117

5.6.5 施密特（Schmidt）正交化方法 118

5.6.6 可逆实矩阵的QR分解 120

习题五 122

第六章 矩阵的特征值问题 124

6.1 矩阵的特征值与特征向量 124

6.1.1 基本概念 124

6.1.2 特征值与特征向量的计算方法 125

6.1.3 特征多项式及其性质 127

6.1.4 特征向量的性质与特征子空间 128

6.2 矩阵的相似与对角化 130

6.2.1 矩阵的相似 130

6.2.2 矩阵的对角化问题 131

6.2.3 矩阵对角化的应用与例 134

6.2.4 特征值理论的几个应用 135

6.3 实对称阵的对角化 141

6.3.1 实对称阵的特征值与特征向量的性质 141

6.3.2 实对称阵的对角化 143

6.3.3 实对称阵的对角化（主轴化）方法 144

习题六 146

第七章 二次型 149

7.1 二次型和它的标准形 149

7.2 复数域上二次型的规范形 160

7.3 实数域上二次型的规范形 162

7.4 正定二次型和正定矩阵 165

习题七 169

第八章 几何意义与应用专题 172

8.1 矩阵与变换 172

8.1.1 矩阵映射与矩阵变换的定义 172

8.1.2 矩阵映射的性质 173

8.1.3 R2与R3中几类特殊的矩阵变换 175

8.1.4 矩阵映射的复合与矩阵乘法 180

8.1.5 变换的不变量与特征值理论 181

8.1.6 坐标系替换与矩阵相似 183

8.1.7 正交变换 187

8.2 行列式的几何意义 191

8.2.1 二阶、三阶行列式的几何意义 191

8.2.2 矩阵变换与行列式 193

8.2.3 一般行列式的几何意义 195

8.3 最小二乘问题 197

8.3.1 近似解的标准——最小距离 197

8.3.2 最小二乘解的应用 200

8.3.3 最小二乘问题的微积分推导 203

8.4 二次曲线与二次曲面 204

8.4.1 R2中的二次曲线及其标准方程 204

8.4.2 二次曲线一般方程的化简与分类 207

8.4.3 3维空间中的二次曲面 213

习题八 220

部分习题参考答案 224

致谢 251