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第一章 Banach空间上的非线性算子 1

1.1 Banach空间及线性算子 1

1.1.1 Banach空间和Hilbert空间 1

1.1.2 Banach空间的例子 3

1.1.3 有界线性算子 4

1.1.4 共轭空间 6

1.1.5 线性算子的谱 8

1.1.6 紧算子和Riesz-Schauder理论 9

1.1.7 Poincaré不等式和Sobolev嵌入定理 10

1.2 抽象函数的微积分 11

1.2.1 抽象函数的积分 11

1.2.2 抽象函数的微分 12

1.3 Fréchet可微性 13

1.4 Gateaux微分 15

1.5 几个例子 20

1.5.1 Nemytskii算子的连续性 20

1.5.2 Nemytskii算子的可微性 21

1.5.3 一个变分泛函 25

1.6 高阶导数与Taylor公式 31

1.7 隐函数定理 36

1.7.1 隐函数定理 36

1.7.2 常微分方程解的存在性 39

1.8 全局隐函数定理 41

1.8.1 全局隐函数定理 41

1.8.2 常微分方程的边值问题 42

1.9 分歧问题 44

1.9.1 Lyapunov-Schmidt过程 45

1.9.2 分歧定理 47

1.9.3 Hopf分歧定理 51

1.10 半序Banach空间 54

1.10.1 锥与半序 54

1.10.2 正泛函与共轭锥 60

1.11 上下解方法 62

1.12 混合单调算子 67

习题 70

第二章 拓扑度理论 73

2.1 Brouwer度的定义 73

2.1.1 Sard定理 73

2.1.2 C2映射的Brouwer度 75

2.1.3 Brouwer度的定义 81

2.2 Brouwer度的性质 84

2.2.1 Brouwer度的基本性质 85

2.2.2 Brouwer度的性质 87

2.2.3 简化定理与乘积公式 89

2.2.4 度理论的公理化 90

2.2.5 注记 97

2.3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理 99

2.4 Leray-Schauder度 105

2.4.1 紧连续映射及其性质 105

2.4.2 全连续场与紧同伦 110

2.4.3 Leray-Schauder度的定义 111

2.4.4 Leray-Schauder度的性质 113

2.4.5 孤立零点的指数 116

2.5 不动点定理 118

2.5.1 Leray-Schauder不动点定理 119

2.5.2 范数形式的拉伸与压缩不动点定理 123

2.5.3 Borsuk定理 125

2.6 锥映射的拓扑度 127

2.7 重合度介绍 135

2.8 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度 139

2.8.1 非紧性测度 139

2.8.2 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度 145

2.9 全局分歧定理 147

习题 152

第三章 变分方法 157

3.1 极值原理 157

3.1.1 极值的必要条件 157

3.1.2 Euler-Lagrange方程 158

3.1.3 极值存在的条件 161

3.1.4 条件极值 166

3.1.5 Ekeland变分原理 169

3.1.6 Nehari技巧 173

3.2 极小极大原理 173

3.2.1 伪梯度向量场与形变引理 173

3.2.2 极小极大原理 179

3.3 ZZ2指标和畴数 183

3.3.1 ZZ2指标 184

3.3.2 ZZ2伪指标 188

3.3.3 畴数 193

习题 197

参考文献 201