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第1章 行列式 1

1.1 n阶行列式的定义 1

1.1.1 全排列及其反序数 1

1.1.2 排列反序数的计算 2

1.1.3 n阶行列式定义 3

1.2 n阶行列式的性质 3

1.3 行列式的计算 6

1.3.1 根据定义计算行列式 6

1.3.2 根据行列式的性质计算行列式 7

1.3.3 利用行列式按行（列）展开计算行列式 9

1.3.4 利用行列式的乘积展开计算行列式 13

1.3.5 利用范德蒙德行列式计算 14

1.3.6 利用拉普拉斯定理展开计算 15

1.4 应用举例 18

1.5 应用MATLAB程序计算行列式 21

习题一 22

第2章 矩阵 25

2.1 矩阵的概念 25

2.2 矩阵的运算 31

2.2.1 矩阵的加法与数乘运算 31

2.2.2 矩阵与矩阵的乘法运算 33

2.2.3 矩阵的转置运算 35

2.2.4 矩阵的行列式运算 36

2.2.5 矩阵的逆运算 37

2.3 常见几类n阶矩阵的性质 40

2.3.1 可逆矩阵的性质 40

2.3.2 正交矩阵性质 42

2.3.3 对角矩阵性质 42

2.3.4 准对角形矩阵及其性质 43

2.3.5 矩阵A的伴随矩阵A的性质 43

2.4 矩阵的初等变换 45

2.4.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 45

2.4.2 矩阵的等价 48

2.5 矩阵的秩 51

2.6 应用举例 56

2.7 应用MATLAB程序求矩阵的相关问题 59

习题二 60

第3章 向量组与线性方程组 64

3.1 向量组的线性相关性 64

3.1.1 向量及向量组 64

3.1.2 向量组的线性组合 66

3.1.3 向量组的相关性 69

3.2 向量组的秩 71

3.2.1 求向量组秩的方法 72

3.2.2 求向量组的一个极大无关组 73

3.3 线性方程组 75

3.3.1 线性方程组的表示形式 75

3.3.2 线性方程组解的结构 76

3.3.3 线性方程组有解的条件 77

3.3.4 线性方程组的求解方法 78

3.3.5 含有参数的线性方程组解的讨论 84

3.3.6 利用线性方程组解的理论求解线性方程 87

3.3.7 向量组的线性相关性与线性方程组解之间的关系 88

3.4 矩阵方程 90

3.4.1 方程AX=B的解法 90

3.4.2 方程XA=B的解法 93

3.5 应用举例 94

3.6 应用MATLAB程序求解线性方程组 96

习题三 97

第4章 向量空间与矩阵的特征向量 101

4.1 线性空间的概念与性质 101

4.1.1 向量空间的概念 101

4.1.2 向量空间的维数与基底 104

4.1.3 向量空间中基底之间过渡矩阵 107

4.1.4 向量的内积 108

4.1.4 R n中向量的模与夹角 109

4.2 正交向量组 110

4.3 向量空间中的线性变换 115

4.3.1 线性变换的概念与性质 116

4.3.2 线性变换的性质 116

4.3.3 常见的几种特殊的线性变换 117

4.3.4 线性变换在向量空间基底下的矩阵 117

4.3.5 线性变换在不同基底下矩阵之间的关系 118

4.4 矩阵的特征值与特征向量 118

4.4.1 矩阵的特征值与特征向量的概念 118

4.4.2 矩阵的特征值与特征向量的性质 122

4.5 矩阵的对角化 124

4.6 应用举例 132

4.7 应用MATLAB程序求矩阵的特征值 133

习题四 134

第5章 n元二次型 137

5.1 二次型与合同矩阵 137

5.1.1 n元实二次型的概念 137

5.1.2 n元实二次型与实对称矩阵 138

5.1.3 合同矩阵与二次型 139

5.1.4 二次型的等价 140

5.2 化二次型为标准型、规范型 140

5.2.1 利用配方法求二次型的标准型 140

5.2.2 利用正交变换法求二次型的标准型 142

5.2.3 利用初等变换法求二次型的标准型 147

5.3 正定二次型与正定矩阵 149

5.3.1 判定二次型的正定性 151

5.3.2 与二次型有关的证明题 152

5.4 应用举例 155

习题五 157

模拟自测题 159

模拟自测题一 159

模拟自测题二 162

模拟自测题三 165

模拟自测题四 167

模拟自测题五 170

习题参考答案 173

参考文献 183