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第一章 复变解析函数 1

1复数及其运算 1

1.1复数及其表示法 1

1.2复数的运算 5

1.3复数球面和无穷远点 16

1.4 复数在平面几何中的应用 19

2平面点集 23

2.1基本概念 23

2.2平面曲线·区域 25

2.3集与集之间的距离 30

3复变函数及其连续性 31

3.1复变函数概念 31

3.2复变函数的极限 37

3.3复变函数的连续性 40

4解析函数 43

4.1导数与解析函数概念 43

4.2柯西—黎曼条件 49

4.3调和函数 56

习题一 61

第二章 初等解析函数 65

1幂函数与根式函数 65

1.1幂函数 65

1.2根式函数 68

2指数函数与对数函数 72

2.1指数函数 72

2.2对数函数 76

3三角函数与反三角函数 81

3.1三角函数 81

3.2反三角函数 85

4一般幂函数 87

5初等多值函数的进一步讨论 90

5.1幅角函数 90

5.2 w=n？z与w=Lnz的进一步讨论 97

5.3w=n？R（z）与w=LnR（z）（R（z）为有理函数）的可单值分支区域 101

习题二 109

第三章 复变函数的积分 112

1复变函数积分的概念 112

1.1复变函数积分的定义 112

1.2复变函数积分存在的条件 113

1.3复变函数积分的计算 117

1.4复变函数积分的基本性质 119

2柯西积分定理 121

2.1柯西积分定理 121

2.2柯西积分定理推广到多连通区域 126

2.3不定积分 129

3柯西积分公式 132

3.1柯西积分公式 132

3.2解析函数的无穷可微性 137

3.3柯西不等式 141

3.4刘维尔定理 142

3.5代数学基本定理的证明 143

3.6莫瑞拉定理 144

习题三 145

第四章 解析函数的级数展开 148

1复数项级数 148

1.1复数序列 148

1.2复数项级数 149

2复变函数项级数 154

2.1一致收敛概念 154

2.2一致收敛级数的和函数的性质 156

3幂级数 161

3.1幂级数的收敛性 161

3.2幂级数收敛半径的求法 165

3.3幂级数和函数的解析性 167

4解析函数的泰勒展式 168

4.1泰勒定理 168

4.2解析函数零点的孤立性 176

4.3解析函数的唯一性定理 177

5解析函数的罗朗展式 181

5.1罗朗级数 181

5.2解析函数的罗朗展式 184

6解析函数在孤立奇点邻域的性质 190

7解析函数在无穷远点邻域的性质 201

8整函数与亚纯函数 205

习题四 207

第五章 留数及其应用 211

1留数定理 211

1.1留数的定义和留数定理 211

1.2留数的求法 213

1.3无穷远点的留数 220

2留数在定积分计算上的应用 224

2.1三角有理函数的积分：2π∫0R（cost、sin)dt 224

2.2有理函数的积分：+∞∫-∞P（x）/Q（x） 229

2.3混合型的积分：+∞∫-∞P（x）/Q（x）cosmxdx，+∞∫-∞P（x）/Q（x）sinmxax（n＞0） 233

2.4关于多值函数积分 241

3幅角原理与儒歇定理 245

3.1幅角原理 245

3.2儒歇定理 248

习题五 251

第六章 保形映射 253

1保形映射概念 253

1.1导数的模与幅角的几何意义 253

1.2保形映射概念 257

2解析函数的映射性质 257

2.1解析函数的保域性及最大模原理 257

2.2单叶解析函数的映射性质 261

2.3单叶解析函数的反函数及其解析性 263

3黎曼存在定理和边界对应定理 264

3.1黎曼存在定理 265

3.2边界对应定理 265

4分式线性映射 267

4.1分式线性映射及其分解 267

4.2分式线性映射的保形性 271

4.3分式线性映射的保圆性 274

4.4分式线性映射的保对称点不变性 275

4.5三对对应点唯一确定分式线性映射 278

4.6分式线性映射的保交比不变性 280

4.7分式线性映射的应用 280

5某些初等函数所构成的保形映射 289

5.1幂函数与根式函数 289

5.2指数函数与对数函数 291

6简单区域的保形映射举例 292

习题六 299

附录 复变函数在流体力学中的应用 302

1流量与环量 302

1.1流量与环量 303

1.2无源、无汇和无旋的流动 304

2复势 306

3解析函数奇点的流体力学意义 310