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第一章 数学解题意义 1

1.1 为什么要解题？ 1

1.2 什么是题？什么是数学题？ 3

1.3 数学问题的分类 5

1.3.1 按四信息分析分类 5

1.3.2 按知识内容分类 6

1.3.3 按解题形式分类 6

1.3.4 按评判解答的客观性分类 7

1.3.5 按思维程度分类 7

1.3.6 按用途分类 9

1.3.7 按难度分类 10

1.4 什么是解题？ 10

1.4.1 运用系统论科学描述解题 10

1.4.2 问题解决 12

第二章 数学解题研究观点 15

2.1 系统科学论的观点 15

2.1.1 系统的基本性质与解题 15

2.1.2 信息论与解题 16

2.1.3 三条基本原理与解题 17

2.2 波利亚的观点 19

2.2.1 程序化的解题系统 20

2.2.2 启发式的过程分析 20

2.2.3 开放型的念头诱发 21

2.2.4 探索性的问题转换 21

2.3 弗里德曼的观点 22

2.3.1 强调解题的实践性和创造性 22

2.3.2 解答数学题的实质是要找到一种一般数学原理的序列 22

2.3.3 分析解题过程的程序 23

2.3.4 寻找解题方案的建议 24

2.4 罗增儒的观点 25

2.4.1 解题坐标系的建立 25

2.4.2 解题思路的探求 30

2.4.3 解题过程的改进 31

2.5 数学解题研究观 32

2.5.1 数学解题研究的中心内容是什么？ 33

2.5.2 数学解题方法系统的轴心系统是什么？ 34

2.5.3 数学解题方法系统应怎样建构？ 34

第三章 数学解题过程 35

3.1 解题程序 35

3.1.1 一般解题程序 35

3.1.2 特殊解题程序 39

3.2 数学解题过程分析 41

3.2.1 解题步骤过程的一般性与特殊性分析 41

3.2.2 解题思维过程的四阶段说 45

3.2.3 解题思维过程的图解表示 46

3.3 数学解题思路的探求 47

3.3.1 试悟式探索 48

3.3.2 顿悟式探索 51

3.4 数学解题成果的扩大 56

3.5 数学解题水平的提高 65

3.5.1 提高数学解题水平的基本条件 65

3.5.2 解题水平的主要标志 68

3.5.3 突破解题瓶颈需要加强策略性知识学习 69

3.5.4 沿着五个层次，逐步培训和提高解题水平 69

3.5.5 加强典型练习，提高学用能力 75

第四章 数学解题策略 78

4.1 数学解题策略应遵循的原则 78

4.1.1 明确的目的性原则 79

4.1.2 熟悉化原则 80

4.1.3 简单化原则 81

4.1.4 具体化原则 82

4.1.5 和谐化原则 83

4.1.6 分析问题的全面性原则 84

4.2 数学解题策略选择、制定中的关注要点 86

4.2.1 观察、逻辑、知识、经验是选择、制定解题策略的重要因素 86

4.2.2 辩证的思维是选择、制定解题策略的根本途径 89

4.3 数学解题策略选择、制定的技术摘要 91

4.4 数学解题策略系统的三大支柱子系统 94

4.4.1 模式运作，化生为熟 95

4.4.2 聚焦切入，活化中介 116

4.4.3 差异分析，适时转化 134

第五章 数学解题方法 152

5.1 数学解题方法的意义与实质 152

5.1.1 方法及解题方法的各种理解 152

5.1.2 数学解题方法具有根本的意义 154

5.1.3 对数学问题形式的认识是数学解题方法的实质 154

5.2 数学解题方法的分类与系统建构 156

5.2.1 数学解题方法的分类 156

5.2.2 数学解题方法的系统观 157

5.2.3 数学解题方法的系统建构 159

5.3 数学解题方法中的几个关系 161

5.3.1 数学解题方法与数学方法 162

5.3.2 数学解题方法与数学教学 162

5.3.3 数学解题方法与数学思维 163

5.3.4 数学解题方法与数学解题策略 164

5.3.5 数学解题方法与数学思想 164

5.3.6 数学解题方法与数学方法原理 165

5.3.7 数学解题方法与数学学科结构 165

5.3.8 数学解题方法与数学概念 166

5.3.9 数学解题方法与数学操作 166

5.3.10 数学解题方法与一般科学方法 167

5.3.11 数学通用解题方法与数学解题技巧 167

5.3.12 数学基本解题方法与数学通用解法 168

5.4 解数学题的基本方法简介 169

5.4.1 公理化与数学结构型方法 169

5.4.2 符号化与变元表示型方法 188

5.4.3 集合论型方法 201

5.4.4 对应型方法 210

5.4.5 系统与统计型方法 221

5.4.6 化归与辩证型方法 238

5.5 精彩解法来自不断地疑问、优化与改进、探究 259

5.6 一题多解的升华认识 263

5.6.1 对一题多解的初步认识 263

5.6.2 对一题多解的升华认识 267

第六章 数学解题思路 272

6.1 几类平面几何问题的求解思路 272

6.1.1 线段、角的相等 272

6.1.2 平行与垂直 275

6.1.3 线段或角的和差倍分关系 278

6.1.4 线段的比例、乘积、平方关系 280

6.1.5 共线点与共点线 281

6.1.6 点共圆与共点圆 284

6.1.7 定值问题 286

6.2 几类代数问题的求解思路 287

6.2.1 恒等式的证明 287

6.2.2 不等式的证明 290

6.2.3 函数求值或值域 294

6.2.4 特殊数列的通项公式、前n项和的求解 297

6.2.5 复数问题的求解 299

6.3 平面解析几何问题的求解思路 300

6.3.1 平面解析几何问题的证明 300

6.3.2 曲线过定点的问题 302

6.4 立体几何问题的求解思路 305

第七章 几类特殊题型及求解 307

7.1 数学开放性问题及其求解 307

7.1.1 数学开放性问题的类型及形式 307

7.1.2 数学开放性问题的求解思路 308

7.1.3 数学开放性问题的求解策略 312

7.2 数学应用性问题及其发掘与选编 315

7.2.1 数学应用性问题的发掘、选编原则 316

7.2.2 数学应用性问题的发掘、选编途径 316

7.3 数学选择题及求解 318

7.3.1 数学选择题的结构 318

7.3.2 数学选择题的分类 319

7.3.3 数学选择题的解答思路 319

7.3.4 单一型选择题的几种常用解法 320

7.3.5 数学选择题的编制及其编制原则 324

7.4 数学填空题的求解与答题要求 325

7.4.1 数学填空题的求解方略 325

7.4.2 数学填空题的答题要求 327

第八章 数学错题校正及数学题错解辨析 328

8.1 数学错题及其校正 328

8.1.1 题意不明确 328

8.1.2 条件不充分 328

8.1.3 条件不相容 329

8.1.4 条件有剩余 330

8.1.5 结论不明确 331

8.1.6 结论不成立 331

8.1.7 “两性”不具有 332

8.1.8 附图有错误 333

8.2 数学题错解辨析 333

8.2.1 知识性错误 334

8.2.2 逻辑性错误 336

8.2.3 心理性错误 339

8.2.4 策略性错误 344

参考文献 347