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部分Ⅰ 背景材料 1

第一章 黎曼几何要略 3

第一节 微分流形 3

一、拓扑流形 微分流形 3

二、切空间与余切空间 7

三、张量场与外微分式 9

四、外微分式的积分 12

第二节 Riemann流形 14

一、Riemann度量 14

二、仿射联络 15

三、Levi-Civita联络 17

四、流形上的微分算子 20

第三节 曲率 23

一、曲率张量 23

二、Ricci曲率 数量曲率 25

第四节 指数映射 28

一、平移 28

二、指数映射 28

三、测地法坐标系 31

四、Jacobi场 32

第五节 共形不变张量 33

一、Weyl张量 33

二、Schouten张量 Cotten张量 35

三、共形度量 36

四、Weyl张量的共形不变性 39

五、局部共形平坦 41

第二章 索伯列夫空间 45

第一节 Lebesgue积分 46

一、流形上的Lebesgue积分 46

二、空间Lp（M） 48

三、Lorentz空间Lp，q（M） 51

第二节 Sobolev空间及相关不等式 53

一、Sobolev嵌入定理 54

二、最佳Sobolev不等式 56

三、直交性Aubin不等式 59

四、Moser-Aubin不等式 62

部分Ⅱ 共形数量曲率的分析方法 69

第三章 共形度量的数量曲率 71

第一节 经典Yamabe问题 71

一、历史上的Yamabe问题 71

二、Aubin定理B.-N.模型 75

三、Schoen定理 78

四、Yamabe方程解的集合 81

五、Aubin定理的影响 82

第二节 设定共形数量曲率 85

一、存在性与Euler示性数 85

二、存在性与Yamabe不变量 89

三、Brezis-Kato正则化 92

第三节 Yamabe流 95

一、Yamabe流 95

二、Sn上的Yamabe流 96

三、指数收敛 103

四、关于Yamabe不变量 105

第四章 对称性与NIR．问题 107

第一节 Nirenberg问题 107

一、问题 107

二、Kazdan-Warner恒等式 109

第二节 分析方法 111

一、非线性Fredholm型定理 111

二、具对称性的问题 114

第三节 Aubin不等式的另一种形式 116

一、Chang-Yang的结论 117

二、用次临界逼近 118

三、不等式的建立 120

部分Ⅲ Nirenberg问题的拓扑方法 127

第五章 代数拓扑方法 129

第一节 Bahri-Coron定理 129

一、变分问题 129

二、Rn上的Bahri-Coron模型 131

第二节 （P.S.）序列的行为 134

一、Struwe-Bahri-Coron引理 134

二、用粒子逼近及余项 136

三、导算子在粒子上的作用 139

第三节 梯度流及其走向 143

一、梯度流 143

二、从W（p，ε）（p≥2）出发的下降流 144

三、从W（1，ε）出发的下降流 148

四、构建形变引理 154

第四节 拓扑论证 159

一、代数拓扑准备 159

二、拓扑论证 161

第五节 积分估计补充 169

一、粒子与余项间的作用 169

二、粒子间的相互作用 170

三、J（u）的展开式 178

第六章 拓扑度方法 181

第一节 张-杨摄动定理 181

一、张-杨映射 182

二、张-杨摄动定理 183

三、指标记数条件与拓扑度条件 185

第二节 共形参数解 186

一、带Lagrange乘数的共形解 186

二、Qp（u）的一阶与二阶导数 188

三、极小解的唯一性与连续性 189

第三节 G（P，t）的渐近性质 194

一、拓扑度相等的映射 194

二、极值函数的存在性 197

三、摄动条件下的积分估计 201

第四节 G的渐近展式及其它 204

一、其它结论 205

二、β映射 208

第七章 低维Nirenberg问题 213

第一节 解的上下界 214

一、共形参数解 214

二、（ε-＊）条件 215

第二节 逐点估计 218

一、迹零Ricci张量 218

二、拉回映射 221

三、逐点估计 225

第三节 整体拓扑度 229

一、摄动常数量曲率 229

二、拓扑度的计算 234

第四节 二维情形的结论 238

一、Chang-Gursky-Yang定理 238

二、张恭庆刘嘉荃定理 238

部分Ⅳ 高阶共形曲率 239

第八章 高阶共形曲率 241

第一节 Q曲率及相关问题 241

一、Paneitz算子 242

二、Q-Yamabe问题 244

三、一个极小极大方案 246

第二节 k-Yamabe问题 251

一、σk-曲率 252

二、σk-Yamabe问题 252

三、变分法 253

四、Kazdan-Warner型恒等式 254

附录A 变分原理 257

一、泛函三定理及收敛 257

二、映射的微分 259

三、极值问题 260

四、形变引理 262

附录B 拓扑度理论 265

一、Brouwer度 265

二、Leray-Scshauder度 269

附录C 凝聚紧性原理 271

一、P.L.Lions引理 271

二、Sobolev函数列 271

三、Struwe-Bahri型引理 273

附录D Sn上的Laplace算子 281

一、球极投影 281

二、特征值与特征函数 282

三、球面调和函数 284

参考文献 285

符号索引 301

内容索引 303