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第一章 数学竞赛论概述 1

第一节 竞赛活动 2

1-1-1 国际数学竞赛 2

1-1-1-1 国际数学竞赛的由来 2

1-1-1-2 国际数学竞赛的发展 5

1-1-1-3 国际数学竞赛的运作 6

1-1-2 中国数学竞赛 12

1-1-2-1 中国数学竞赛发展的三个阶段 12

1-1-2-2 中国数学竞赛的组织 25

1-1-3 数学竞赛发展的双面思考 36

1-1-3-1 数学竞赛发展的基本特征 36

1-1-3-2 数学竞赛热的冷思考 41

第二节 竞赛数学 45

1-2-1 竞赛数学的概貌 46

1-2-1-1 几何 49

1-2-1-2 代数 50

1-2-1-3 初等数论 51

1-2-1-4 组合初步 51

1-2-1-5 数学奥林匹克方法 52

1-2-2 竞赛数学的特征 53

1-2-2-1 位于中间数学 53

1-2-2-2 邻接研究数学 56

1-2-2-3 展示艺术数学 59

1-2-2-4 构成教育数学 62

第三节 竞赛教育 63

1-3-1 数学竞赛的教育性质 63

1-3-1-1 较高层次的基础教育 63

1-3-1-2 开发智力的素质教育 64

1-3-1-3 生动活泼的业余教育 65

1-3-1-4 现代数学的普及教育 66

1-3-2 数学竞赛的教育功能 66

1-3-2-1 发现人才选拔人才培养人才 66

1-3-2-2 激发青少年学习数学的兴趣 67

1-3-2-3 为中学数学教材改革进行过渡 67

1-3-2-4 强化能力培养的教学导向 67

1-3-2-5 促进中学教师的知识更新 68

1-3-2-6 为第二课堂增添活数学的内容 68

1-3-2-7 为初等数学研究开拓新的领域 69

1-3-2-8 为数学方法论的研究注入新的血液 69

1-3-3 数学竞赛的学校培训 70

1-3-3-1 目标明确“四定”坚持 70

1-3-3-2 知识同步 能力超前 70

1-3-3-3 早期发现 系统跟踪 71

1-3-3-4 生动活泼 激发兴趣 71

1-3-3-5 业余自愿 发展特长 72

第四节 数学竞赛的命题与解题 72

1-4-1 数学竞赛的命题 72

1-4-1-1 数学竞赛命题的基本要求 72

1-4-1-2 数学竞赛命题的基本途径 75

1-4-1-3 “问题试题”举例 77

1-4-2 数学竞赛的解题 85

1-4-2-1 对数学竞赛题的基本认识 85

1-4-2-2 解数学竞赛题的一般过程 86

1-4-2-3 怎样学会解题 92

1-4-2-4 学会解竞赛题的案例 93

第二章 竞赛数学的基本内容 117

第一节 数学竞赛中的几何问题 117

2-1-1 平面几何基本内容 118

2-1-2 平面几何基本方法 138

2-1-3 IMO中的几何题 152

第二节 数学竞赛中的代数问题 166

2-2-1 多项式 167

2-2-1-1 多项式基础知识 167

2-2-1-2 多项式例题 170

2-2-2 不等式 175

2-2-2-1 不等式基础知识 176

2-2-2-2 不等式例题 178

2-2-3 递推数列 188

2-2-3-1 递推数列基础知识 188

2-2-3-2 递推数列例题 190

2-2-4 函数方程 195

2-2-4-1 函数方程基础知识 195

2-2-4-2 函数方程例题 198

2-2-5 IMO中的代数题 203

第三节 数学竞赛中的数论问题 217

2-3-1 数论基本内容 218

2-3-2 数论例题 238

2-3-2-1 奇数与偶数 238

2-3-2-2 约数与倍数 240

2-3-2-3 平方数 243

2-3-2-4 整除 248

2-3-2-5 同余 253

2-3-2-6 不定方程 255

2-3-2-7 数论函数 258

2-3-3 IMO中的数论题 260

第四节 数学竞赛中的组合问题 267

2-4-1 组合数学 268

2-4-1-1 组合数学基础知识 268

2-4-1-2 组合数学例题 278

2-4-2 图论 284

2-4-2-1 图论的基本思想 284

2-4-2-2 图论的基础知识 286

2-4-2-3 图论例题 290

2-4-3 组合几何 299

2-4-3-1 组合几何计数问题 299

2-4-3-2 组合几何结构问题 303

2-4-3-3 组合几何覆盖问题 305

2-4-3-4 组合几何染色问题 306

2-4-4 IMO中的组合题 309

第三章 竞赛数学的基本方法 322

第一节 五个基本方法 323

3-1-1 构造 323

3-1-2 对应 327

3-1-3 递推 330

3-1-4 区分 333

3-1-5 染色 337

第二节 三大基本原理 348

3-2-1 抽屉原理 348

3-2-2 极端原理 351

3-2-3 容斥原理 354

第三节 四化一性两分析 355

3-3-1 特殊化 356

3-3-2 一般化 359

3-3-3 数字化 362

3-3-4 有序化 364

3-3-5 不变性 366

3-3-6 对称性分析 369

3-3-7 奇偶性分析 373

第四节 更多的奥林匹克技巧 375

3-4-1 整体处理 375

3-4-2 变换还原 380

3-4-3 逐步调整 381

3-4-4 优化假设 383

3-4-5 计算两次 384

3-4-6 辅助图表 387

主要参考文献 391