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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

1.1.1 线性空间的定义及性质 1

1.1.2 向量的线性相关性 2

1.1.3 基与维数 5

1.1.4 坐标与坐标变换 6

1.2 线性子空间 11

1.2.1 线性子空间的概念 11

1.2.2 子空间的交与和 13

1.3 线性变换及其矩阵 16

1.3.1 线性变换及其运算 16

1.3.2 线性变换的矩阵表示 18

1.3.3 特征值与特征向量 23

1.3.4 不变子空间 27

习题一 28

第2章 内积空间 32

2.1 内积空间的概念 32

2.1.1 Hermite矩阵，酉矩阵 32

2.1.2 内积空间的定义与基本性质 33

2.1.3 标准正交基 35

2.2 欧氏空间 36

2.3 酉空间的定义及性质 39

2.4 矩阵的相似对角化 40

习题二 42

第3章 矩阵的相似标准形 45

3.1 λ矩阵的基本概念及初等变换 45

3.1.1 λ矩阵的基本概念 45

3.1.2 λ矩阵的初等变换与等价 46

3.2 λ矩阵在等价意义下的标准形 48

3.3 λ矩阵的行列式因子 51

3.4 λ矩阵的初等因子 54

3.5 矩阵相似的条件 57

3.6 矩阵的若尔当标准形 59

3.7 哈密顿—凯莱定理与最小多项式 65

习题三 68

第4章 矩阵分解 70

4.1 矩阵的正交三角分解 70

4.2 矩阵的满秩分解 72

4.3 矩阵的谱分解 75

4.3.1 可对角化矩阵的谱分解 75

4.3.2 正规矩阵的谱分解 79

4.4 矩阵的奇异值分解 83

4.5 广义逆矩阵 87

4.6 广义逆矩阵与线性方程组的求解 91

4.6.1 A（1）与线性方程组的解 92

4.6.2 A（1，4）与线性方程组的极小范数解 93

4.6.3 A（1，3）与矛盾方程组的最小二乘解 95

4.6.4 A＋与线性方程组的极小最小二乘解 96

习题四 98

第5章 矩阵分析 100

5.1 向量与矩阵的范数 100

5.1.1 向量的范数 100

5.1.2 矩阵的范数 102

5.2 向量与矩阵序列的收敛性 105

5.3 矩阵的导数 108

5.3.1 函数矩阵对变量的导数 108

5.3.2 函数对矩阵的导数 110

5.3.3 矩阵对矩阵的导数 111

5.4 矩阵的微分与积分 113

习题五 114

第6章 矩阵函数 116

6.1 矩阵级数 116

6.2 矩阵函数的定义及性质 119

6.2.1 矩阵函数的幂级数定义 119

6.2.2 矩阵函数的谱定义 120

6.3 矩阵函数的计算方法 121

6.3.1 利用若尔当标准形的计算法 122

6.3.2 拉格朗日—西尔维斯特插值多项式表示法 125

6.3.3 待定系数法 128

6.4 矩阵函数的应用举例 129

习题六 133

习题答案 135

参考文献 141