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绪论 积分史简述 1

第7章 定（Riemann）积分 3

7.1 定（Riemann）积分的概念 3

7.1.1 曲边梯形的面积问题 3

7.1.2 定积分的定义 4

7.2 Darboux上、下和，上、下积分 7

7.2.1 Darboux上、下和 8

7.2.2 Darboux上、下积分 10

7.3 函数可积的充分必要条件，可积函数类 12

7.3.1 函数可积的充分必要条件 12

7.3.2 可积函数类 14

7.4 微积分基本定理，定积分的基本性质 18

7.4.1 Newton-Leibniz公式 18

7.4.2 定积分的基本性质 22

7.5 变限积分，原函数存在的充分条件 29

7.6 定积分的间接计算法 35

7.6.1 换元积分法 35

7.6.2 分部积分法 40

7.7 定积分中值定理 45

7.7.1 定积分第一中值公式 46

7.7.2 定积分第二中值公式 49

7.8 定积分在几何与力学中的初步应用 53

7.8.1 平面区域的面积 53

7.8.2 用平行截面面积求立体体积 59

7.8.3 曲线弧长 63

7.8.4 旋转体的侧面积 68

7.8.5 定积分应用的朴素定式——点位微分的积累 70

7.8.6 定积分在力学中的初步应用 71

7.9 定积分的近似计算 77

7.9.1 从积分和式求近似值 77

7.9.2 从被积函数大小估算近似值 86

后记 87

第8章 反常积分 99

8.1 函数在无穷区间上的积分 100

8.1.1 无穷区间上的积分定义 100

8.1.2 积分的基本性质 103

8.2 无穷区间上积分收敛与发散的判别法 106

8.2.1 非负函数积分敛散性的比较判别法 106

8.2.2 积分的绝对收敛 112

8.2.3 被积函数的主部分离法 114

8.2.4 一般函数积分敛散性的判别法 115

8.3 有穷区间上无界函数的积分——瑕积分 122

8.3.1 瑕积分的定义 122

8.3.2 积分的基本性质 125

8.4 瑕积分收敛与发散的判别法 127

8.4.1 非负函数积分敛散性的比较判别法 127

8.4.2 瑕积分的绝对收敛 131

8.4.3 一般函数积分敛散性的判别法 133

8.4.4 带瑕点无穷区间上积分敛散性的判别法 135

后记 138

第9章 常数项级数 141

9.1 级数收敛的概念和必要条件 141

9.2 收敛级数的运算性质 145

9.3 正项级数收敛与发散的判别法 147

9.3.1 正项级数收敛的特征 147

9.3.2 通项比较判别法 151

9.3.3 比值判别法，根值判别法 157

9.3.4 推广的比值型和根值型判别法 162

9.3.5 积分判别法 165

9.4 一般项级数收敛与发散的判别法 170

9.4.1 级数收敛的充分必要条件 170

9.4.2 级数的绝对收敛与条件收敛 172

9.4.3 交错级数收敛的判别法 175

9.4.4 乘积项级数收敛的判别法 178

9.5 级数项序的重新排列 184

9.6 两个级数的乘积 186

后记 189

第10章 函数项级数 200

10.1 函数项级数一致收敛的概念 203

10.2 一致收敛函数项级数的运算性质 206

10.3 函数项级数一致收敛的判别法 208

10.3.1 Cauchy准则 208

10.3.2 M（最值）判别法 212

10.3.3 函数乘积项级数一致收敛的Abel判别法和Dirichlet判别法 217

10.4 函数性质的传递——极限次序的交换 222

10.4.1 连续性质的传递 223

10.4.2 积分性质的传递 227

10.4.3 微分性质的传递 230

后记 234

第11章 幂级数与Taylor级数 244

11.1 幂级数收敛区域的特征——收敛半径 244

11.2 幂级数收敛半径的求法 246

11.3 幂级数的一致收敛及其和函数的性质 251

11.4 函数的幂级数展式——Taylor级数 256

11.4.1 函数的Taylor级数的概念 257

11.4.2 判定函数的Taylor级数展式的方法 259

11.4.3 应用举例 265

11.5 多项式逼近连续函数 268

后记 273

第12章 Fourier分析初步 283

12.1 三角函数系的正交性、函数的Fourier级数 284

12.2 Fourier系数的性质 287

12.3 Fourier级数的（点）收敛 291

12.3.1 Dirichlet积分、局部化原理 291

12.3.2 Fourier级数收敛的判别法 294

12.4 其他函数的Fourier级数 305

12.4.1 周期为2l的函数 305

12.4.2 仅定义在有界区间上的函数 306

12.5 Fourier级数的其他收敛意义 311

12.5.1 算术平均求和 311

12.5.2 封闭系，均方收敛 314

12.5.3 一致收敛，Fourier级数的微分和积分 320

后记 324