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第1章 预备知识 1

1.1 Holder空间与Lp空间 1

1.1.1一些记号 1

1.1.2 Holder空间 3

1.1.3 Lp空间 4

1.2 Schwartz分布与Sobolev平均核 7

1.2.1 Schwartz分布 7

1.2.2 Sobolev平均核 8

1.3 Sobolev空间与嵌入定理 8

1.3.1 Sobolev空间的定义 8

1.3.2嵌入定理 9

1.4一些常用的微分算子 11

1.5外代数 14

1.6外微分形式 16

1.7一些预备引理 18

1.7.1一个基本不等式 18

1.7.2 Hodge分解 20

1.7.3弱逆Holder不等式 27

第2章 拟正则映射 28

2.1 K-拟正则映射 28

2.1.1 K-拟正则映射的定义 28

2.1.2 K-拟正则映射的Caccioppoli不等式 29

2.2 （K1， K2）-拟正则映射 31

2.2.1 （K1， K2＄拟正则映射的Holder连续性和几乎处处可微性 31

2.2.2 （K1， K2）-拟正则映射的Lp（p ＞ n）可积性 36

2.3弱K-拟正则映射 40

2.3.1弱K-拟正则映射的定义 40

2.3.2弱K-拟正则映射的正则性 40

2.3.3弱K-拟正则映射的Caccioppoli型不等式 44

2.4弱（K1， K2＄拟正则映射 47

2.4.1弱（K1， K2＄拟正则映射的定义 47

2.4.2弱（K1.K2）-拟正则映射的正则性 48

2.4.3弱（K1.K2＄拟正则映射的Caccioppoli型不等式 53

2.4.4弱（K1.K2 （x））-拟正则映射的高阶可积性 57

2.5退化的拟正则映射 61

2.5.1退化拟正则映射的定义 61

2.5.2退化K-拟正则映射的Lp可积性 63

2.5.3退化弱K-拟正则映射的Holder连续性 67

2.5.4退化弱拟正则映射的Caccioppoli型不等式 69

2.6具有多个n维变量的弱（K1.K2（x））-拟正则映射 72

2.6.1引言与结果叙述 72

2.6.2预备引理 73

2.6.3定理2.6.1的证明 74

2.7保向形式Jacobi行列式的可积性 78

2.8外幂的可积性 89

2.8.1引言 89

2.8.2定理2.8.2和定理2.8.1的证明 92

第3章Beltrami方程组 97

3.1 Beltrami方程组和拟正则映射 97

3.2 Beltrami方程组弱解分量函数的弱单调性 98

3.2.1引言 98

3.2.2大L∞空间 99

3.2.3一个等价定义 104

3.2.4弱单调性 106

3.3具有两个特征矩阵的Beltrami方程组 108

第4章 A-调和方程 114

4.1 Beltrami方程组与A-调和方程 114

4.2 WT类微分形式与A-调和张量 120

4.2.1引言 120

4.2.2预备引理 122

4.2.3定理4.2.1的证明 126

4.3 A-调和方程很弱解的正则性 126

4.4 A-调和方程很弱解的唯一性 129

4.5 A-调和方程障碍问题的很弱解 135

4.5.1局部与整体高阶可积性 135

4.5.2具有权函数的A-调和方程障碍问题的很弱解 145

4.6 A-调和方程障碍问题解的局部正则性 151

4.6.1引言 151

4.6.2定理4.6.1的证明 152

4.7泛函极小与非线性椭圆方程解的局部正则性 157

4.7.1引言 157

4.7.2泛函极小 158

4.7.3非线性椭圆方程 161

4.8各向异性的方程的弱解与泛函极小的局部正则性 164

4.8.1引言 164

4.8.2预备引理 166

4.8.3各向异性泛函极小 166

4.8.4各向异性方程的局部解 171

4.9各向异性障碍问题解的局部正则性和局部有界性 175

4.9.1引言与结果叙述 175

4.9.2预备引理 177

4.9.3各向异性方程 177

4.9.4各向异性泛函 185

4.10共轭A-调和张量的双权Caccioppoli型不等式和弱逆Holder不等式 188

4.10.1引言 188

4.10.2局部Aλ3r（λ1.λ2.Ω）-加权Caccioppoli型估计 188

4.10.3 Aλ3r（λ1.λ2.Ω＄加权弱逆Holder不等式 192

4.10.4整体加权积分不等式 194

4.11 A-调和方程障碍问题很弱解的局部正则性 195

4.11.1引言与结果叙述 196

4.11.2定理4.11.1的证明 196

4.12散度-旋度场的正则性及其应用 202

4.12.1引言及预备引理 202

4.12.2高阶可积性及应用 204

4.12.3非齐次方程解的正则性 207

参考文献 212