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第1章 绪论 1

1.1 常微分方程的基本概念 1

1.1.1 常微分方程和偏微分方程 1

1.1.2 微分方程的阶数 2

1.1.3 线性和非线性 2

1.1.4 解和隐式解 2

1.1.5 通解和特解 3

1.1.6 积分曲线和方向场 4

1.2 几个常微分方程应用的例子 6

1.3 常微分方程发展简介 10

本章学习要点 13

习题1 13

第2章 一阶微分方程的初等解法 15

2.1 变量可分离方程与分离变量法 15

2.1.1 变量可分离方程 15

2.1.2 可化为变量可分离方程的类型 16

2.2 一阶线性微分方程与常数变易法 20

2.2.1 一阶线性微分方程 20

2.2.2 伯努利方程 22

2.2.3 黎卡提方程 22

2.3 恰当方程与积分因子法 27

2.3.1 恰当方程 27

2.3.2 积分因子法 29

2.4 一阶隐式微分方程 32

2.4.1 可解出y或x的隐式微分方程 32

2.4.2 不显含y或x的隐式微分方程 35

本章学习要点 37

习题2 37

第3章 一阶微分方程的解的存在唯一性定理 39

3.1 微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法 39

3.1.1 微分方程解的存在唯一性定理 39

3.1.2 近似计算和误差估计 46

3.2 微分方程解的延拓性 47

3.3 微分方程解对初值的连续性和可微性定理 49

3.3.1 微分方程解对初值的连续性定理 49

3.3.2 微分方程解对初值的可微性定理 54

3.4 奇解 56

3.4.1 包络和奇解 56

3.4.2 克莱罗方程 59

本章学习要点 59

习题3 60

第4章 n阶线性微分方程 61

4.1 n阶线性微分方程的一般理论 61

4.1.1 n阶线性微分方程解的存在唯一性定理 61

4.1.2 n阶齐次线性微分方程解的性质和结构 62

4.1.3 n阶非齐次线性微分方程解的性质和结构 67

4.2 n阶常系数线性微分方程的解法 71

4.2.1 复值函数与复值解 72

4.2.2 n阶常系数齐次线性微分方程与欧拉待定指数函数法 73

4.2.3 可化为常系数齐次线性微分方程的欧拉方程的解法 77

4.2.4 n阶常系数非齐次线性微分方程与比较系数法 79

4.2.5 n阶常系数非齐次线性微分方程与拉普拉斯变换法 85

4.3 n阶微分方程的降阶与二阶变系数线性微分方程的两种解法 89

4.3.1 可降阶的微分方程类型 89

4.3.2 二阶变系数齐次线性微分方程的幂级数解法 92

4.3.3 二阶变系数线性微分方程的不变量解法 95

本章学习要点 99

习题4 99

第5章 线性微分方程组 102

5.1 存在唯一性定理 102

5.1.1 线性微分方程组的矩阵记法 102

5.1.2 存在唯一性定理 106

5.2 线性微分方程组的一般理论 109

5.2.1 齐次线性微分方程组 109

5.2.2 非齐次线性微分方程组 113

5.3 常系数线性微分方程组 117

5.3.1 常系数线性微分方程组解的相关概念 117

5.3.2 基解矩阵的两种计算方法 128

5.3.3 常系数齐次线性微分方程组的初等解法 133

5.3.4 拉普拉斯变换的应用 139

本章学习要点 144

习题5 144

第6章 定性与稳定性理论初步 148

6.1 动力系统、相空间与轨线 148

6.1.1 自治系统的基本概念 148

6.1.2 自治系统的三个基本性质 150

6.1.3 奇点与闭轨 151

6.2 解的稳定性 151

6.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念 151

6.2.2 按线性近似判断系统的稳定性 153

6.2.3 李雅普诺夫第二方法 154

6.3 平面动力系统的奇点与极限环 156

6.3.1 奇点与轨线分布 156

6.3.2 极限环与判定定理 162

本章学习要点 164

习题6 164

第7章 常微分方程在数学建模中的应用 166

7.1 数学模型与数学建模 166

7.1.1 数学模型及其分类 166

7.1.2 数学建模及建模步骤与方法 167

7.2 常微分方程在数学建模中的应用 168

7.2.1 常微分方程模型 168

7.2.2 常微分方程模型介绍 170

参考文献 174