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壹 整除的算法 1

1．自然数的来历【完美数与亲和数】 1

2．自然数的奥妙【镶嵌几何与欧拉示性数】 6

3．整除的算法【梅森素数与费尔马素数】 12

4．最大公因数【格雷厄姆猜想】 22

5．算术基本定理【哥德巴赫猜想】 27

贰 同余的概念 37

6．同余的概念【高斯的《算术研究》】 37

7．剩余类和剩余系【函数［x］与3x+1问题】 42

8．费尔马－欧拉定理【欧拉数和欧拉素数】 48

9．表分数为循环小数【默比乌斯函数】 56

10．密码学中的应用【广义欧拉函数】 62

叁 同余式理论 69

11．秦九韶定理【斐波那契的兔子】 69

12．威尔逊定理【高斯未证的定理】 76

13．丢番图方程【毕达哥拉斯数组】 83

14．卢卡斯同余式【覆盖同余系】 89

15．素数的真伪【素数或合数之链】 95

肆 平方剩余 103

16．二次同余式【高斯环上的整数】 103

17．勒让德符号【表整数为平方和】 108

18．二次互反律【n角形数与费尔马】 115

19．雅可比符号【阿达马矩阵和猜想】 119

20．合数模同余【正十七边形作图法】 124

伍 n次剩余 131

21．指数的定义【埃及分数】 131

22．原根的存在性【阿廷猜想】 135

23．n次剩余【佩尔方程】 138

24．合数模的情形【丢番图数组】 147

25．狄利克雷特征【三类特殊指数和】 151

陆 整数幂模同余 159

26．伯努利数与多项式【库默尔同余式】 159

27．荷斯泰荷姆定理【椭圆曲线】 165

28．拉赫曼同余式【abc猜想】 173

29．莫利定理和雅克布斯坦定理【自守形式和模形式】 184

30．一类调和和同余式【多项式系数非幂】 195

柒 加乘数论 203

31．新华林问题 203

32．新费尔马定理 210

33．欧拉猜想 218

34．F完美数问题 224

35．新同余数问题 232

36．abcd方程 239

10000以下素数表 249

参考文献 257