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第六章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

习题6-1 5

第二节 空间直角坐标系中的向量 5

一、空间直角坐标系 5

二、向量的坐标分解式 8

三、向量的模和方向余弦 10

四、向量在轴上的投影 12

习题6-2 13

第三节 向量的数量积、向量积与混合积 14

一、向量的数量积 14

二、向量的向量积 17

三、向量的混合积 19

习题6-3 21

第四节 平面及其方程 21

一、平面的点法式方程 22

二、平面的一般式方程 23

三、两平面的夹角 24

四、点到平面的距离 26

习题6-4 27

第五节 空间直线及其方程 28

一、空间直线的一般方程 28

二、空间直线的对称式方程与参数方程 28

三、两直线的夹角 30

四、直线与平面的夹角 31

五、平面束 32

习题6-5 33

第六节 曲面及其方程 35

一、曲面方程的概念 35

二、几种常见的曲面 36

三、二次曲面 40

习题6-6 43

第七节 空间曲线及其方程 44

一、空间曲线的一般方程 44

二、空间曲线的参数方程 45

三、空间曲线在坐标面上的投影 46

习题6-7 48

总复习题六 49

第六章 参考答案 51

第七章 多元函数微分法及其应用 56

第一节 多元函数的基本概念 56

一、平面点集 56

二、二元函数的概念 59

三、二元函数的图形 60

习题7-1 61

第二节 多元函数的极限与连续 61

一、二元函数的极限 61

二、二元函数的连续性 64

三、闭区域上多元连续函数的性质 65

习题7-2 65

第三节 偏导数 65

一、偏导数的概念及其计算 66

二、偏导数存在与连续性之间的关系 68

三、高阶偏导数 69

习题7-3 71

第四节 全微分 71

一、全微分的概念 71

二、可微分、偏导数、连续性的关系 72

三、全微分在近似计算中的应用 75

习题7-4 76

第五节 多元复合函数的微分法 77

一、多元复合函数求偏导数的法则 77

二、全微分形式不变性 81

习题7-5 82

第六节 隐函数的存在定理及微分法 82

一、一个方程的情形 83

二、方程组的情形 87

习题7-6 89

第七节 多元函数微分法在几何上的应用 90

一、空间曲线的切线与法平面 90

二、曲面的切平面与法线 94

习题7-7 96

第八节 多元函数的泰勒公式 97

二元函数的泰勒公式 97

习题7-8 99

第九节 多元函数的极值及其求法 99

一、多元函数的极值 99

二、多元函数的最大值与最小值 101

三、条件极值、拉格朗日乘数法 104

习题7-9 108

总复习题七 109

第七章 参考答案 112

第八章 重积分 118

第一节 二重积分的概念与性质 118

一、二重积分的概念 118

二、二重积分的性质 120

习题8-1 122

第二节 二重积分的计算 122

一、在直角坐标系下计算二重积分 122

二、在极坐标系下计算二重积分 127

三、无界区域上的广义积分 132

四、利用积分区域的对称性简化二重积分的计算 132

习题8-2 134

第三节 三重积分的概念及其计算 136

一、三重积分的概念 136

二、三重积分的计算 137

习题8-3 144

总复习题八 145

第八章 参考答案 148

第九章 无穷级数 152

第一节 常数项级数的概念和性质 152

一、常数项级数的概念 152

二、常数项级数的基本性质 156

习题9-1 158

第二节 正项级数的审敛法 158

一、正项级数 158

二、比较审敛法 159

三、比值审敛法与根值审敛法 163

习题9-2 166

第三节 任意项级数的审敛法 167

一、交错级数及其审敛法 167

二、绝对收敛与条件收敛 169

习题9-3 171

第四节 幂级数 171

一、函数项级数的概念 171

二、幂级数及其收敛性 173

三、幂级数的运算 177

习题9-4 179

第五节 函数展开成幂级数 180

一、泰勒级数 180

二、函数展开成幂级数 182

三、函数的幂级数展开式的应用 187

习题9-5 188

第六节 傅里叶级数 189

一、三角级数的概念 189

二、周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数 190

三、正弦级数和余弦级数 195

习题9-6 197

第七节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 198

周期为2l的函数展开成傅里叶级数 198

习题9-7 200

总复习题九 201

第九章 参考答案 205

第十章 微分方程 209

第一节 微分方程的基本概念 209

微分方程的基本概念 209

习题10-1 212

第二节 一阶微分方程的初等解法 212

一、可分离变量的微分方程 212

二、齐次方程 215

三、全微分方程 219

习题10-2 222

第三节 一阶线性微分方程 223

一、一阶线性微分方程 223

二、伯努利方程 226

习题10-3 227

第四节 可降阶的高阶微分方程 228

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 228

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 230

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 231

习题10-4 233

第五节 高阶线性微分方程解的结构 233

一、线性齐次微分方程解的结构 234

二、线性非齐次微分方程解的结构 235

三、常数变易法 237

习题10-5 238

第六节 常系数线性微分方程 239

一、常系数线性齐次方程 239

二、常系数线性非齐次微分方程 244

三、欧拉方程 249

习题10-6 250

第七节 差分方程 251

一、差分的概念与性质 251

二、差分方程的概念 253

三、一阶常系数线性差分方程 254

四、二阶常系数线性差分方程 255

习题10-7 257

第八节 线性微分方程的幂级数解法与常系数线性微分方程组 257

一、微分方程的幂级数解法 257

二、常系数线性微分方程组 261

习题10-8 262

总复习题十 263

第十章 参考答案 266