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预备知识 1

第1章 函数 4

1.1 函数概念 4

1.1.1 函数的定义 4

1.1.2 函数的例子 5

习题1 9

1.2 函数的初等性质 10

1.2.1 函数的奇偶性 10

1.2.2 函数的增减性 11

1.2.3 函数的周期性 12

1.2.4 函数的有界性 13

1.2.5 函数的凸凹性 14

习题2 16

1.3 函数的运算 17

1.3.1 函数的四则运算 17

1.3.2 反函数 18

1.3.3 函数的复合 20

习题3 23

1.4 初等函数 24

习题4 38

1.5 函数的简单作图方法、极坐标及参数方程的图形 39

1.5.1 函数的简单作图方法 39

1.5.2 极坐标系下函数的图形 42

1.5.3 用参数方程表示的函数的图形 46

习题5 49

综合题 50

第2章 函数的极限与连续性 52

2.1 函数极限的概念 52

2.1.1 极限问题引例 52

2.1.2 极限的直观定义 57

2.1.3 极限的精确定义 64

习题1 66

2.2 函数极限的性质及计算 67

2.2.1 函数极限的性质 67

2.2.2 极限的运算法则 69

2.2.3 极限计算举例 71

习题2 75

2.3 无穷小量及其阶的比较 77

2.3.1 无穷小量与无穷大量 77

2.3.2 无穷小和无穷大阶的比较 79

习题3 84

2.4 连续函数及其性质 85

2.4.1 函数的连续性 86

2.4.2 连续函数的性质 88

2.4.3 有界闭区间上连续函数的性质 90

习题4 93

综合题 95

第3章 导数与微分 97

3.1 导数与微分的概念 97

3.1.1 导数的概念 97

3.1.2 导数的简单性质 100

3.1.3 求导函数举例 103

3.1.4 微分的概念及其性质 106

习题1 109

3.2 导数与微分的计算 111

3.2.1 导数的四则运算 112

3.2.2 反函数导数公式 114

3.2.3 复合函数求导法 116

3.2.4 微分公式 119

习题2 123

3.3 隐函数和参数式函数求导法 128

3.3.1 隐函数求导法 128

3.3.2 参数式函数求导法 131

习题3 133

3.4 高阶导数 134

习题4 140

综合题 142

第4章 导数的应用 144

4.1 微分中值定理 144

4.1.1 极值点与费马定理 144

4.1.2 微分中值定理 146

习题1 155

4.2 洛必达法则 156

习题2 165

4.3 函数的图形与极值问题 167

4.3.1 用导数分析函数的性态 167

4.3.2 一元函数的极值问题 183

习题3 193

4.4 泰勒公式及其应用 195

4.4.1 多项式逼近、泰勒公式 196

4.4.2 泰勒公式的应用 203

习题4 208

综合题 208

第5章 不定积分 211

5.1 原函数概念与不定积分 211

5.1.1 背景引例 211

5.1.2 原函数及不定积分的概念 213

习题1 218

5.2 计算不定积分的基本方法 220

5.2.1 凑微分法 220

5.2.2 变数替换法 223

习题2 227

5.3 分部积分法 230

习题3 235

5.4 有理分式与三角有理分式的积分 237

5.4.1 有理分式函数的积分 237

5.4.2 三角有理分式函数的积分 242

习题4 246

5.5 综合例题 248

5.5.1 不定积分小结 248

5.5.2 综合例题 248

综合题 255

第6章 定积分 258

6.1 定积分概念 258

6.1.1 背景与引例 258

6.1.2 定积分概念的引入 260

6.1.3 定积分的几何意义与性质 264

习题1 270

6.2 牛顿-莱布尼茨公式与简单定积分的计算 271

6.2.1 变限积分与牛顿-莱布尼茨公式 272

6.2.2 简单定积分的计算（凑微分法） 276

习题2 279

6.3 定积分变数替换法 282

6.3.1 变数替换法 282

6.3.2 区间变换 287

习题3 290

6.4 分部积分法 292

习题4 295

6.5 变限积分的应用与定积分综合例题 298

6.5.1 变限积分的求导问题 298

6.5.2 综合例题 300

综合题 304

第7章 定积分应用 310

7.1 平面区域的面积与旋转体体积 310

7.1.1 直角坐标下的面积计算 310

7.1.2 极坐标下的面积计算 312

7.1.3 用参数方程表示的曲线所围平面图形的面积 315

7.1.4 旋转体的体积 316

7.2 平面曲线弧长与旋转体侧面积 321

7.2.1 平面曲线弧长的计算 321

7.2.2 旋转体侧面积的计算 325

习题1 329

7.3 定积分的物理应用 331

7.3.1 质量中心问题 332

7.3.2 压力、引力与做功问题 335

7.4 定积分应用综合例题 338

习题2 344

第8章 简单常微分方程与数学模型初步 346

8.1 背景、概念与引例 346

8.1.1 微分方程的基本概念与术语 347

8.1.2 几个引例 349

习题1 355

8.2 一阶常微分方程 356

8.2.1 简单一阶微分方程 357

8.2.2 一阶线性微分方程 358

8.2.3 可利用微分形式求解的一阶微分方程 363

8.2.4 可化为一阶可求积类型的微分方程 366

习题2 369

8.3 可降阶类型的微分方程 373

8.3.1 不显含y的方程 373

8.3.2 不显含x的方程 374

8.3.3 m次齐次方程 376

习题3 377

8.4 综合例题 379

综合题 384

习题答案与提示 389