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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 3

1.1.3 变量与函数 3

1.1.4 初等函数 7

1.2 数列的极限 9

1.2.1 数列的基本概念 9

1.2.2 数列极限的定义 9

1.2.3 收敛数列的性质 10

1.3 函数的极限 12

1.3.1 自变量趋向无穷大时函数的极限 12

1.3.2 自变量趋向有限值时函数的极限 13

1.3.3 函数极限的性质 14

1.4 无穷小与无穷大 15

1.4.1 无穷小 15

1.4.2 无穷大 15

1.5 极限运算法则 16

1.6 极限存在准则和两个重要极限 19

1.6.1 准则Ⅰ 20

1.6.2 第一个重要极限 21

1.6.3 准则Ⅱ 22

1.6.4 第二个重要极限 22

1.7 无穷小的比较 24

1.8 函数的连续性 26

1.8.1 函数的连续性 26

1.8.2 间断点 27

1.8.3 初等函数的连续性 28

1.8.4 闭区间上连续函数的性质 29

总复习一 32

第2章 导数与微分 33

2.1 导数的概念 33

2.1.1 三个实例 33

2.1.2 导数的定义 34

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系 37

2.2 函数的求导法则 38

2.2.1 函数的和差积商的导数 38

2.2.2 反函数的导数 39

2.2.3 复合函数的导数 40

2.2.4 常用函数的求导公式 43

2.3 高阶导数 44

2.4 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 46

2.4.1 隐函数的求导方法 46

2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法 48

2.5 函数的微分 50

2.5.1 微分的定义 50

2.5.2 常用函数的微分公式与微分运算法则 51

总复习二 54

第3章 微分中值定理与导数的应用 56

3.1 中值定理 56

3.1.1 极值定义 56

3.1.2 费马定理 56

3.1.3 罗尔定理 57

3.1.4 拉格朗日定理 58

3.1.5 柯西定理 60

3.2 洛必达法则 62

3.3 泰勒公式 65

3.4 函数的单调性与凹凸性 68

3.4.1 函数的单调性 68

3.4.2 函数的凹凸性 70

3.5 函数的极值与应用 73

3.5.1 函数极值的求法 73

3.5.2 最大值与最小值的求法与应用 75

3.5.3 函数的分析作图法 77

3.6 弧微分与曲率 79

3.6.1 弧微分 79

3.6.2 曲率的概念与计算 80

总复习三 82

第4章 不定积分 83

4.1 不定积分的概念及性质 83

4.1.1 原函数、不定积分的概念 83

4.1.2 基本积分公式 84

4.1.3 不定积分的性质 85

4.2 换元积分法 87

4.2.1 第一换元法 87

4.2.2 第二换元法 90

4.3 分部积分法 92

4.3.1 分部积分法 92

4.3.2 综合积分举例 94

总复习四 97

第5章 定积分及其应用 99

5.1 定积分的概念与性质 99

5.1.1 两个实例 99

5.1.2 定积分的定义 101

5.1.3 定积分的性质 103

5.2 微积分基本公式 106

5.2.1 引例 106

5.2.2 变上限函数及其导数 107

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 108

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 111

5.3.1 换元积分法 111

5.3.2 分部积分法 114

5.4 广义积分 117

5.4.1 无限区间上的广义积分 118

5.4.2 无界函数的广义积分 119

5.4.3 Γ-函数 121

5.5 定积分的应用 122

5.5.1 定积分的微元法 122

5.5.2 平面图形的面积 123

5.5.3 立体体积 126

5.5.4 平面曲线的弧长 128

5.5.5 定积分在物理上的应用举例 130

5.5.6 定积分在经济上的应用举例 132

总复习五 134

习题参考答案 137

参考文献 149