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第一章 函数、极限与函数连续性 1

第一节 函数 1

一、集合及其运算 1

二、映射与函数 7

三、分段函数 19

四、复合函数与反函数 22

五、双曲函数与反双曲函数 31

第二节 极限 36

一、数列的极限 36

二、函数的极限 55

第三节 函数的连续性 92

一、连续与间断 92

二、连续函数的运算 99

三、闭区间上连续函数的性质 105

第二章 导数与微分 114

第一节 导数概念 114

一、变化率问题 114

二、导数定义 117

三、函数的可导性与连续性的关系 120

第二节 导数的运算 124

一、基本初等函数的导数 124

二、函数的和、差、积、商的导数 127

三、反函数的导数 131

四、复合函数的导数 133

五、初等函数的求导问题 138

六、高阶导数 141

七、隐函数的导数 144

八、由参数方程所确定的函数的导数—相关变化率 147

第三节 函数的微分 155

一、函数的微分 155

二、微分的运算 159

三、微分形式不变性 160

四、高阶微分 162

五、微分在近似计算中的应用 163

第三章 微分中值定理 169

第一节 微分中值定理 169

一、微分中值定理的几何背景 169

二、费马定理 171

三、罗尔定理 171

四、拉格朗日定理 172

五、柯西定理 174

第二节 未定式的定值法——洛必达法则 179

一、未定式0/0型 180

二、其它类型的未定式 183

第三节 泰勒公式 188

一、函数的多项式逼近 188

二、泰勒定理 190

三、余项估计 191

第四章 导数的应用 199

第一节 函数单调性的判别法 197

一、函数单调性的充分条件 197

二、函数单调区间的求法 198

三、函数单调性的充分必要条件 201

四、用函数单调性证明不等式 202

第二节 函数的极值及其求法 204

一、函数的极值 204

二、函数的最大值和最小值 213

第三节 函数的凸性及曲线的拐点 216

一、函数的凸性 216

二、曲线的拐点 222

第四节 函数图形的描绘 225

一、曲线的渐近线 225

二、函数图形的描绘 230

第五节 曲线的曲率、渐屈线与渐伸线 234

一、弧长的微分 234

二、曲率及其计算公式 235

三、曲率圆（密切圆）、曲率中心 240

第六节 方程的近似解 249

一、二分法 249

二、切线法（牛顿法） 251

第五章 不定积分 255

第一节 不定积分的概念与性质 255

一、原函数与不定积分 255

二、基本积分表 260

三、不定积分的性质 262

第二节 基本积分法 265

一、第一换元法（凑微分法） 266

二、第二换元法（代换法） 276

三、分部积分法 283

第三节 几种特殊类型函数的积分 292

一、有理函数的积分 293

二、三角函数有理式的积分 304

三、简单无理函数的积分 312

第四节 积分表的使用 319

第六章 定积分 322

第一节 定积分的概念 322

一、定积分问题举例 322

二、定积分的概念 327

第二节 定积分的性质 335

第三节 微积分学基本定理 343

一、可变上限的积分对上限的导数 343

二、牛顿—莱布尼兹公式 347

第四节 定积分的换元法 354

第五节 定积分的分部积分法 362

第六节 定积分的近似计算 370

一、矩形法 371

二、梯形法 372

三、辛卜生法 374

第七节 广义积分 381

一、积分区间为无穷区间的积分 381

二、被积函数有无穷间断点的积分 385

第七章 定积分的应用 392

第一节 和式极限法 392

一、平面曲线的弧长 392

二、函数的平均值 397

第二节 微元法 400

一、平面图形的面积 402

二、体积 406

三、功 411

四、力 414

五、转动惯量 418

六、平面图形的静力矩和重心 420

第八章 常微分方程（一） 425

第一节 基本概念 425

第二节 一阶微分方程 431

一、可分离变量的一阶微分方程 432

二、齐次方程 436

三、一阶线性微分方程 443

第三节 n阶线性微分方程解的结构 451

一、二阶齐次线性微分方程的通解结构 457

第四节 二阶常系数线性微分方程 457

一、二阶常系数线性齐次微分方程 457

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 464

第五节 二阶常系数线性微分方程的应用举例 471

附录 积分表 480