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第一章 极限理论及其应用 1

1.1 极限的统一定义 1

1.2 用极限方法将无限循环小数化成分数 6

1.3 无理数的有理数列极限表示 11

1.4 实数的连分数表示 22

1.5 以动求静与常变互易方法的应用 32

第二章 导数与微分及其应用 39

2.1 导数的定义 39

2.2 微分及其应用 44

2.3 微分中值定理及其应用 47

2.3.1 微分中值定理 47

2.3.2 函数单调性与不等式的证明 51

2.3.3 洛必达法则 57

2.3.4 用导数或偏导数法证明恒等式 61

2.4 一元函数的极值与最值 67

2.5 函数的凸性与平均值不等式 71

2.5.1 函数的凹凸性 71

2.5.2 用函数的凸性证明平均值不等式 73

2.5.3 平均值不等式在最值问题中的应用 77

2.5.4 赫尔德不等式与闵可夫斯基不等式 82

2.5.5 幂平均值不等式 89

第三章 积分及其应用 99

3.1 不定积分 99

3.2 定积分与重积分 102

3.2.1 定积分 102

3.2.2 微积分学基本定理 107

3.2.3 重积分 116

3.3 定积分的微分元素法及其应用 119

3.3.1 微分元素法 119

3.3.2 平面图形的面积 120

3.3.3 平行截面面积已知的立体体积 123

3.3.4 曲线的弧长 126

3.3.5 微分元素法在物理学中的应用 128

3.4 二重积分的计算及其应用 130

3.4.1 利用定积分的微分元素法化二重积分为累次积分 130

3.4.2 二重积分的微分元素法 135

3.4.3 利用二重积分的微分元素法计算曲面面积 138

第四章 级数及其应用 147

4.1 数项级数 147

4.1.1 数项级数及其收敛 147

4.1.2 正项级数的收敛判别法 150

4.1.3 一般项级数的收敛判别法 154

4.2 幂级数及其应用 156

4.2.1 幂级数及其和函数 156

4.2.2 函数的幂级数展开式 161

4.2.3 圆周率π的无理性 168

4.2.4 常见中学数学用表的制作原理 172

参考文献 178