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目录 1

第一部分 问 题 1

第一章实分析 1

1.1初等微积分 1

1.2极限与连续性 5

1.3序列，级数与乘积 6

1.4微分计算 9

1.5积分计算 12

1.6函数序列 14

1.7 Fourier级数 19

1.8凸函数 20

第二章多元微积分 21

2.1极限与连续性 21

2.2微分计算 22

2.3积分计算 27

第三章微分方程 29

3.1一阶方程 29

3.2二阶方程 32

3.3高阶方程 33

3.4微分方程组 34

第四章度量空间 39

4.1Rn的拓扑学 39

4.2一般理论 41

4.3不动点定理 41

第五章复分析 43

5.1复数 43

5.2函数级数与函数序列 44

5.3保形映射 46

5.4解析函数的积分表达式 47

5.5单位圆盘上的函数 48

5.6增长条件 50

5.7解析与半纯函数 51

5.8Cauchy定理 53

5.9零点与奇点 54

5.10调和函数 57

5.11残数理论 58

5.12沿着实轴的积分 61

第六章代数 65

6.1群的例子和一般理论 65

6.2同态和子群 66

6.3循环群 68

6.4 正规性，商和同态 68

6.5 Sn,An,Dn, 70

6.6直接积 71

6.7自由群，乘积，生成子以及关系 71

6.8有限群 72

6.9环与它们的同态 73

6.10理想 74

6.11多项式 75

6.12域及其扩张 77

6.13初等数论 79

第七章线性代数 81

7.1向量空间 81

7.2秩与行列式 82

7.3方程组 84

7.4线性变换 85

7.5特征值与特征向量 87

7.6标准型 91

7.7相似性 95

7.8双线性型，二次型和内积空间 97

7.9矩阵一般理论 99

第一章实分析 103

1.1初等微积分 103

第二部分 题解部分 103

1.2极限与连续性 115

1.3序列，级数与乘积 119

1.4微分计算 129

1.5积分计算 135

1.6函数序列 144

1.7 Fourier级数 154

1.8凸函数 157

第二章多元微积分 159

2.1极限与连续性 159

2.2微分计算 159

2.3积分计算 171

第三章微分方程 175

3.1一阶方程 175

3.2二阶方程 179

3.3高阶方程 183

3.4微分方程组 184

第四章度量空间 190

4.1Rn的拓扑学 190

4.2一般理论 194

4.3不动点定理 197

第五章复分析 200

5.1复数 200

5.2函数级数与函数序列 203

5.3保形映射 206

5.4解析函数的积分表达式 209

5.5单位圆盘上的函数 211

5.6增长条件 218

5.7解析与半纯函数 220

5.8 Cauchy定理 227

5.9零点与奇点 233

5.10调和函数 243

5.11残数理论 244

5.12沿着实轴的积分 255

第六章代数 278

6.1群的例子和一般理论 278

6.2同态和子群 279

6.3循环群 280

6.4正规性，商和同态 281

6.5 Sn,An,Dn, 283

6.6直接积 285

6.7自由群，乘积，生成子以及关系 286

6.8有限群 288

6.9环与它们的同态 290

6.10理想 292

6.11多项式 294

6.12域及其扩张 299

6.13初等数论 303

7.1向量空间 308

第七章线性代数 308

7.2秩与行列式 312

7.3方程组 316

7.4线性变换 317

7.5特征值与特征向量 323

7.6标准型 329

7.7相似性 340

7.8双线性型，二次型和内积空间 343

7.9矩阵一般理论 345

第三部分 附 录 352

附录A如何参与考试 352

A.1在线 352

A.2离线 352

附录B及格的成绩 357

附录C课程概要 359

参考文献 361