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目录 1

前言 1

第一章 行列式 1

§1.1 定义，性质及公式 1

§1.1.1 定义 1

§1.1.2 行列式的性质 3

§1.1.3 行列式计算的常用公式 4

§1.2 行列式计算方法 6

§1.2.1 目标行列式法 6

§1.2.2 降阶法 9

§1.2.3 拆项法 13

§1.2.4 析因子法 15

§1.2.5 加边法、递推法与归纳法 17

§1.2.6 求解行列式的其他方法 23

§1.3 行列式的应用 29

§1.3.1 在几何与向量代数中的应用 29

§1.3.2 在线性微分方程中的应用 31

§1.3.3 在控制论中的应用 32

§1.4 Mathematica符号计算系统简介 34

§1.4.1 系统介绍 34

§1.4.2 用Mathematica作基本运算 35

§1.4.3 Mathematica中的工作簿与工作单元 36

习题1 37

第二章 矩阵 42

§2.1 应用背景 42

§2.2 矩阵的运算法则 45

§2.3 矩阵运算的主要性质 46

§2.4 一些已知结论 47

§2.4.1 例题 50

§2.5 矩阵的其他运算 58

§2.5.1 矩阵的迹 58

§2.5.2 矩阵的直积（Kronecker积） 60

§2.5.3 Kronecker积的应用 61

§2.5.4 矩阵的Hadamard积（Schur积） 64

§2.5.5 矩阵的求导运算 65

§2.6 矩阵的秩 66

§2.6.1 定义与性质 66

§2.6.2 求秩的方法 67

§2.6.3 矩阵秩不等式 67

§2.6.4 例题 70

§2.7 矩阵的有关Mathematica函数 75

§2.7.1 矩阵与向量的Mathematica函数定义 75

§2.7.2 矩阵与向量的分量表示 76

习题2 78

§3.1 克莱姆（Cramer）法则 85

§3.1.1 基本概念 85

第三章 线性方程组理论 85

§3.1.2 方法举例 86

§3.2 消元法 90

§3.2.1 基本内容 90

§3.2.2 方法举例 92

§3.3 线性方程组解的存在性判别法 93

§3.3.1 基本内容 93

§3.3.2 方法举例 94

§3.4.1 基本概念与结论 97

§3.4 向量组的相关性与线性方程组解的结构 97

§3.4.2 方法举例 100

§3.5 线性方程组求解的Mathematica语句 106

习题3 109

第四章 矩阵的特征值与特征向量 113

§4.1 定义与求法 113

§4.1.1 基本概念 113

§4.1.2 基本性质 114

§4.1.3 求特征值，特征向量的步骤 116

§4.1.4 方法举例 116

§4.2.2 性质与结论 123

§4.2 矩阵的相似与对角化 123

§4.2.1 基本概念 123

§4.2.3 方法举例 124

§4.3 Hamilton—Cayley定理 129

§4.3.1 基本结论 129

§4.3.2 例题 130

§4.4 用Mathematica计算特征值与特征向量 136

§4.5 应用例题 138

习题4 142

第五章 矩阵的标准形 148

§5.1 标准形介绍 148

§5.2.1 有关定义 149

§5.2 等价标准形 149

§5.2.2 有关性质 151

§5.2.3 例题 151

§5.3 Jordan标准型 155

§5.3.1 有关定义 155

§5.3.2 有关性质 158

§5.3.3 例题 159

§5.4 Frobenius标准形 167

习题5 169

§6.1.1 有关定义 172

第六章 线性空间与线性变换 172

§6.1 线性空间的基，维数，以及向量坐标 172

§6.1.2 有关线性空间的例子 173

§6.3 线性子空间 173

§6.1.3 有关线性空间的性质 174

§6.2 基，维数与坐标 175

§6.2.1 有关定义 175

§6.2.2 有关性质 176

§6.2.3 几类重要线性空间的维数与基 177

§6.2.4 例题 178

§6.3.1 有关定义 183

§6.3.2 有关性质及特殊类子空间 184

§6.3.3 有关例题 186

§6.4 线性变换 191

§6.4.1 有关定义及性质 191

§6.4.2 常见的线性变换 192

§6.4.3 线性变换的运算 193

§6.4.4 一些重要结论 194

§6.4.5 例题 198

§6.5 几类特殊类型的线性变换 203

§6.5.1 有关定义 203

§6.5.2 有关性质及结论 204

§6.6 特征子空间与不变子空间 205

§6.6.1 特征子空间 205

§6.6.2 不变子空间 210

习题6 214

第七章 多项式与二次型 218

§7.1 多项式的运算与最大公因式 218

§7.1.1 有关定义 218

§7.1.2 例题 219

§7.2.1 有关定义 221

§7.2 多项式的整除与最大公因式 221

§7.2.2 有关性质与结论 222

§7.2.3 例题 224

§7.3 多项式的因式分解与多项式的根 228

§7.3.1 有关定义 228

§7.3.2 有关性质与结论 229

§7.3.3 例题 230

§7.4 双线性函数 232

§7.4.1 有关定义 232

§7.4.2 有关性质与结论 233

§7.4.3 例题 236

§7.5.1 有关定义 237

§7.5 二次型 237

§7.5.2 有关性质与结论 238

§7.5.3 方法与例题 238

§7.6 二次型及其矩阵的合同关系 244

§7.6.1 有关定义 244

§7.6.2 有关性质与结论 245

§7.6.3 例题 246

§7.7 正定二次型与正定矩阵 249

§7.7.1 有关定义 249

§7.7.2 有关性质与结论 249

§7.7.3 例题 251

§7.8 用Mathematica进行多项式运算与二次型化简 254

§7.8.1 定义多项式 254

§7.8.2 多项式及二次型的运算 255

习题7 258

第八章 矩阵函数 263

§8.1 定义与性质 263

§8.1.1 定义 263

§8.1.2 性质 267

§8.2 Sylvestet公式 270

§8.3 线性微分与线性差分方程 275

§8.4 矩阵符号函数 278

习题8 281

第九章 矩阵的广义逆 285

§9.1 矩阵的M-P逆 285

§9.1.1 定义 285

§9.1.2 性质 287

§9.1.3 M-P逆的计算 293

§9.2 其他广义逆 302

§9.2.1 （i，j，k）-逆 302

§9.2.2 Drazir逆 307

§9.3 线性方程组的求解 311

§9.4.1 线性反馈控制 314

§9.4 广义逆的一些应用 314

§9.4.2 奇异系统 315

§9.4.3 线性规划 316

§9.4.4 参数估计 316

§9.5 利用Mathematica求矩阵分解 317

§9.5.1 奇异值分解 317

§9.5.2 极分解 318

§9.5.3 Jordan分解 319

§9.5.4 LU分解 319

§9.5.5 Schur分解 321

习题9 322