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第1讲 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 应用举例 3

1.3 主要原理 7

1.4 术语、表示与说明 9

习题1 13

第2讲 线性空间 14

2.1 线性空间的定义和例子 14

2.2 子空间 16

2.3 线性组合 19

2.4 线性相关性 20

2.5 维数 24

2.6 线性流形 24

2.7 凸集 25

2.8 锥 28

习题2 29

第3讲 赋范线性空间 30

3.1 范数 30

3.2 开集与闭集 33

3.3 收敛性 36

3.4 变换与连续性 38

3.5 空间lp 40

3.6 空间Lp 44

习题3 47

第4讲 Banach空间 48

4.1 完备性 48

4.2 几个常用的Banach空间 51

4.3 完备子集 58

4.4 紧性 60

4.5 广义Weierstrass极值定理 61

4.6 商空间 64

4.7 稠密性与可分性 66

习题4 69

第5讲 Hilbert空间 70

5.1 内积空间 70

5.2 诱导范数 71

5.3 正交性 74

5.4 投影定理 76

5.5 Gram-Schmidt标准正交化过程 79

习题5 81

第6讲 最佳逼近问题 83

6.1 法方程 83

6.2 Fourier级数 86

6.3 完全标准正交序列 91

6.4 求最佳逼近问题的方法 94

习题6 96

第7讲 其他最小范数问题 98

7.1 基于线性流形的投影定理 98

7.2 最优控制问题 101

7.3 从一点到凸集的最小距离 105

7.4 线性互补问题 108

习题7 109

第8讲 对偶空间 111

8.1 线性泛函 111

8.2 线性泛函的范数 113

8.3 赋范对偶空间 115

8.4 一些常用的Banach空间的对偶 117

习题8 123

9.1 Hahn-Banach定理的延拓形式 125

第9讲 Hahn-Banach定理 125

9.2 C［a，b］的对偶空间 130

9.3 二次对偶空间 135

9.4 共线与正交补 137

习题9 140

第10讲 最小范数问题 142

10.1 对偶性定理 143

10.2 带约束的最小范数问题 147

10.3 弱收敛 152

习题10 154

第11讲 超平面 156

11.1 超平面与线性泛函 156

11.2 超平面与凸集的关系 159

11.3 最小范数问题中的对偶性 167

习题11 170

第12讲 线性算子和伴随算子 172

12.1 有界线性算子 172

12.2 逆算子 173

12.3 伴随算子 174

12.4 值域与零空间 176

12.5 凸锥的对偶关系 178

12.6 Hilbert空间中的最优化 180

习题12 185

第13讲 Gateaux微分与Fréchet微分 187

13.1 Gateaux微分 187

13.2 Fréchet微分 190

13.3 Fréchet导数 195

13.4 极值 199

13.5 变分问题 201

13.6 Euler-Lagrange方程 204

13.7 应用举例 207

习题13 211

第14讲 对偶性原理 214

14.1 凸泛函与凹泛函 214

14.2 共轭凸泛函与共轭凹泛函 218

14.3 对偶定理 222

14.4 对偶定理的应用举例 225

习题14 227

第15讲 约束最优化的全局理论 229

15.1 正锥与凸映射 229

15.2 Lagrange乘子定理和鞍点定理 232

15.3 灵敏度分析 238

15.4 对偶性 239

15.5 可微情形下的最优性条件 243

习题15 245

16.1 广义反函数定理 247

第16讲 约束最优化的局部理论 247

16.2 具有等式约束的最优化局部理论 248

16.3 具有不等式约束的最优化局部理论 251

习题16 256

第17讲 最优控制理论 258

17.1 基本必要条件 259

17.2 Понтрягин极大值原理 262

习题17 266

第18讲 约束最优化理论的应用举例 269

附录 297

附录1 Banach逆算子定理 297

附录2 广义反函数定理 299

符号索引 302

外文名词索引 305

参考文献 315