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序言 1

第一章 索伯列夫空间及其性质 1

1 Lp(Ω)空间的定义 1

2 H？lder不等式和Mikowski不等式 3

3 Lp(Ω)空间的完备性 5

4 Lp(Ω)空间的可分性 9

5 磨光算子与均值逼近 13

5.1 磨光算子(软化子)的定义 13

5.2 均值逼近定理 15

6 单位分解定理 21

6.1 有穷单位分解定理 21

6.2 无穷单位分解定理 23

7.1 弱广义微商 25

7 广义微商及其性质 25

7.2 强广义微商 29

7.3 广义微商的性质 31

8 索伯列夫空间及其性质 32

8.1 索伯列夫空间的定义 32

8.2 索伯列空间W？(Ω)的完备性 33

8.3 ？(Ω)空间 37

第二章 索伯列夫空间嵌入定理 39

1 空间？(Ω)中的积分恒等式 40

1.1 函数u(x)的积分表示式 40

1.2 导函数D？u(x)的积分表示式 45

2 位势积分定理 48

2.1 位势第一积分定理 48

2.2 S维流形与位势第二积分定理 51

3 索伯列夫空间积分恒等式 55

4 索伯列夫空间嵌入定理 56

4.1 空间W？(Ω)往？或者？(Ω)嵌入 57

4.2 空间W？(Ω)往L？(Г？)和W？(Ω)嵌入 59

5 索伯列夫空间等价模 61

5.1 空间？(Ω) 61

5.2 索伯列夫等价模定理 62

5.3 Poincarè和Friedrichs不等式 64

6 W？(Ω)的商空间 65

6.1 空间L？(Ω) 66

6.2 商空间的定义与性质 67

第三章 索伯列夫空间扦值理论 70

1 Lax-Milgram定理 70

1.1 Lax-Milgram定理 72

1.2 广义Lax-Milgram定理 74

2 边值问题的几个例子 75

3 扦值问题的提出 79

4 一维线性扦值 83

4.1 问题的描述 83

4.2 一维线性扦值逼近定理 84

5 二维线性扦值 87

5.1 问题的描述 87

5.2 二维线性扦值逼近定理 88

6 n维r次扦值 92

6.1 Fréchet导数 92

6.2 几个引理 94

6.3 n维r次扦值逼近定理 101

1.1 能量空间与能量模的定义 104

1 能量空间与能量模估计 104

第四章 椭园型方程有限元解的误差估计 104

1.2 能量模估计 106

2 L2(Ω)模估计与尼采技巧 110

3 逆性质与最大模估计 114

3.1 有限元的逆性质 115

3.2 有限元解的H？(Ω)模估计 118

3.3 有限元解的最大模估计 119

4 Nitsche加权模方法与最大模估计 121

4.1 加权模定义与权函数关系式 121

4.2 加权扦值逼近定理 124

4.3 最大模估计 126

5 负模估计和超收敛 144

5.1 负模估计 145

5.2 有限元解的超收敛估计 147

第五章 抛物型方程有限元解的误差估计 150

1 半离散解的L2模和梯度估计 150

1.1 变分形式与半离散近似 150

1.2 L2模估计 153

1.3 梯度估计 156

2 全离散解的误差估计 159

2.1 Euler-Galerkin方法和L2模估计 159

2.2 Crank-Nicolson-Galerkin方法与L2模估计 162

3 非标准的Galerkin方法 166

3.1 问题的提出 166

3.2 尼采方法与？·？模估计 167

3.3 有限元近似的一般方法 174

3.4 L2模与梯度估计 176

4.1 ？空间和先验估计 179

4 带光滑数据齐次方程的误差估计 179

4.2 半离散解的L2模估计 183

5 负模估计 188

5.1 负模？·？H？和？·？H？，h的定义及关系 189

5.2 负模估计 192

第六章 奇异系数方程有限元解的误差估计 197

1 引言 197

2 一维稳态问题 199

2.1 变分形式与离散方程 199

2.2 加权L2模估计 202

2.3 L∞模估计 207

3 一维非稳态问题 214

3.1 半离散解加权L2模估计 215

3.2 半离散解最大模估计 217

9 二维稳态问题 221

4.1 记号与定义 221

4.2 问题的描述与弱形式 222

4.3 离散方程与扦值逼近定理 225

4.4 H？(Ω)模和L？(Ω)模估计 230

5 二维非稳态问题 231

5.1 变分形式和半离散近似 231

5.2 半离散解的L？(Ω)模和加权梯度估计 233

6 一类二维奇异边值问题 236

6.1 加权索伯列夫空间与弱形式 237

6.2 离散问题和扦值逼近 238

6.3 有限元解的误差估计 239

参考资料 240