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目录 1

第一章　预备知识 1

1.1　用语和记号 1

1.2 几何与三角 5

1.3　面积和体积 8

1.4　不等式 13

1.5　记号∑ 15

第二章　简单的代数结果 18

2.1　和与积 18

2.2　任何平方数都是正数或零 19

2.3 算术——几何平均数不等式 25

2.4 交替证明法 29

2.5　柯西的证明 30

2.6　求极值的技巧 33

2.7　算术——调和平均数不等式 45

2.8　数e 48

2.9　柯西不等式 51

第三章　初等的几何问题 60

3.1 序 60

3.2　三角形 61

3.3 四边形 64

3.4 几何杂题 69

3.5　镜像原理 80

3.6　等价结果 84

3.7 辅助圆 88

第四章　等周问题的结论 98

4.1　若干定义 98

4.2 多边形 101

4.3　等周定理 103

4.4 等周商 107

4.5　存在与唯一性 110

第五章　基本的三角不等式 117

5.1　一个新方向 117

5.2　若干三角不等式 118

5.3　琴生不等式 123

5.4　其它的三角函数 127

5.5　asinθ＋bcosθ的极值 131

5.6　顶风行船 135

第六章　内接多边形和外切多边形 140

6.1 引言 140

6.2　正多边形 143

6.3 内接和外切多边形 145

6.4　π的定义 150

6.5 圆与正多边形的比较 154

7.1　基本变换 158

第七章　椭圆 158

7.2　参数方程 162

7.3 内接于椭圆的多边形 163

7.4 外切多边形 165

7.5　切线和极值 166

7.6 点到曲线的最短距离 172

7.7　椭圆上的极值点 176

第八章　蜜蜂和六边形 180

8.1　两个问题 180

82 用正多边形镶嵌平面 183

8.3　非凸多边形 184

8.4 用凸多边形镶嵌平面 185

8.5 总结 191

第九章　进一步的几何问题 194

9.1 引言 194

9.2 费马问题 194

9.3 内接三角形 202

9.4　厄尔多斯—摩德尔定理 209

9.5　分割线 212

9.6　把凸区域嵌入矩形 216

第十章　应用问题与杂题 223

10.1　最佳直线 223

10.2　一般的最小二乘线 225

10.3　最可能的出现次数 228

10.4　极小问题的实验解 235

10.5　托勒密定理 240

10.6　光的折射 243

10.7　时间和距离的问题 245

10.8　极小极大问题 251

10.9 穿越沙漠的吉普车 253

第十一章　欧几里德三维空间 261

11.1　初步结论 261

11.2 四面体的等周定理 264

11.3　四面体的内切球和外接球 269

11.4　球面上的最短路程 271

第十二章　不假定存在性的等周问题 280

12.1　需要严格推敲 280

12.2 内平行多边形 281

12.3　等周定理 286

12.4 多边形的等周定理 289

12.5　具有指定边长的多边形 292

关于微积分的附录 295

解答 302

参考文献 363