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目录 1

微积分研究的对象和特点 1

函数 1

分段函数 3

复合函数 5

隐函数 7

函数的有界性 8

函数的增减性 10

初等函数 13

自变量x的改变量？x与函数y=f(x)的改变量？y 14

思考题一 17

数列是函数吗？如果是，这个函数的特点是什么？ 18

数列极限思想浅析 19

数列极限定义的分析 23

数列极限定义的几何意义 26

如何应用数列极限的定义证明数列的极限？ 29

如何理解数列｛αn｝和数列｛bn｝的和数列、差数列、积数列与商数列？ 33

我们学习了数列极限的哪几个运算法则？在应用这些法则时，要注意什么问题？ 34

什么是无穷数列的各项和？它与前n项和有什么联系和区别？ 39

思考题二 42

函数的极限有几种基本类型？它们各自的特点是什么？ 42

x→∞与n→∞有什么区别？ 44

在研究limf(x)x→x0时应注意什么问题？ 45

函数f(x)在点x0处连续的定义的分析 48

初等函数的连续性 52

当函数f(x)为一个分式的形式时，如何求limf(x)？ 53

设x0是函数y=f(x)定义域内的一点，？x=x-x0,？y=f(x)-f(x0)，求证：函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件是lim？y=0 56

判定极限存在的两个定理是什么？根据这两个定理能推出哪两个重要极限？ 58

思考题三 68

导数概念的分析 70

导数与导函数 75

曲线y=f(x)在点x0处的切线和切线斜率 78

曲线y=f(x)在点x0处的切线方程 83

曲线y=f(x)在点x0处的法线和法线方程 85

两条直线的交角 87

复合函数的导数 91

反函数的导数 102

隐函数的导数 105

对数求导法 108

二阶导数 112

思考题四 117

函数的微分 118

近似计算 123

思考题五 129

拉格朗日中值定理 130

函数增减性的判定 135

函数的极值和极值点 140

函数的最大值与最小值 146

求最大值与最小值应用问题的一般方法是什么？ 150

思考题六 157

原函数 157

不定积分 159

直接积分法 162

不定积分的几何意义 162

换元积分法 169

应用积分表计算不定积分 184

分部积分法 186

思考题七 192

定积分的概念 193

微积分基本公式——牛顿、莱布尼兹公式 198

应用换元法计算定积分 200

平面图形的面积 206

旋转体的体积 215

旋转体的侧面积 218

思考题八 221

【附录】 223

Ⅰ．思考题提示 223

Ⅱ．基本初等函数图形与性质一览表 225

Ⅲ．导数的基本公式 229

Ⅳ．微分公式表与基本积分公式表 229