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目 录 1

第一章Lie变换群和相似解 1

§1.1单参数变换群 1

1．变换群的无穷小形式，经典坐标 1

2．不变曲线，不变函数，Lie级数 5

练习1.1 12

§1.2一阶方程 13

1．线性方程 13

练习1.2 16

2．变换群与积分因子 18

练习1.3 23

§1.3一阶PDE的不变性 24

练习1.4 27

§1.4二阶及高阶方程 27

1.二阶方程 27

4．渐近幂级数 1 30

2.平面点变换的延拓（扩充,Extended） 31

练习1.5 35

3．微分不变量与方程的降阶 36

§1.5应用举例 40

练习1.6 43

§1.6线性偏微分方程 44

1．一维扩散方程的OPG 44

2．二阶延拓，点变换的Lie代数 48

3．扩散方程的相似解 52

练习1.7 56

4．扩散方程的初、边值问题 57

5．Fokker—Planck方程 61

1．高阶延拓 65

练习1.8 65

§1.7非线性偏微分方程 65

2．非线性扩散方程 68

练习1.9 72

3．Burgers方程和KdV方程 73

练习1.10 78

§1.8便于工程上应用的直接方法 79

1．变量分离法 80

2．量纲分析法 80

3．Birkhoff-Morgan方法 82

第二章定性理论（几何方法） 84

1．相空间·轨线 85

§2.1基本概念和例子 85

2．临界点 86

3．线性化 87

4．周期解 88

5．首次积分和积分流形 89

练习2.1 92

§2.2线性系统 93

1．解的稳定性 93

练习2.2 99

2．二维常系数系统奇点分类 100

练习2.3 107

§2.3非线性系统 108

练习2.4 111

§2.4极限环 112

练习2.5 119

第三章渐近分析和摄动法 120

§3.1线性方程的近似解 120

1．奇点分类 120

2．解的局部行为 121

练习3.1 124

3．主项平衡法 125

1．概述 134

练习3.2 134

§3.2非线性方程 134

2．Painleve性质 138

3．奇性分析 141

练习3.3 144

§3.3正则摄动法 144

§3.4奇异摄动法 151

1．多重尺度法 151

2．P—L方法及推广 156

练习3.4 159

第四章孤立子、混沌和分形几何简介 161

§4.1 KdV方程和孤立子（Soliton） 161

1．KdV方程的由来 161

2．KdV方程的孤立波解 162

3．孤立波的相互作用和孤立子 164

§4.2混沌（Chaos）动力学 168

§4.3分形几何 174

附录量纲分析与常用量纲系统 179

参考文献 193