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目录 1

第1章 预备知识 1

1.1 数值计算方法引论 1

1.2 误差 3

1.2.1 科学计算问题中误差的来源 3

1.2.2 误差的估计方式 3

1.3 算法的数值稳定性 6

1.4 向量和矩阵的范数 7

习题一 10

第2章 一元非线性方程的解法 12

2.1 二分法 12

2.2 迭代法 14

2.2.1 迭代法及其几何意义 14

2.2.2 迭代法的收敛条件及误差估计 16

2.2.3 局部收敛性与迭代法收敛的阶 18

2.3 牛顿（Newton）迭代法 20

2.3.1 牛顿迭代法 20

2.3.2 牛顿迭代法的收敛速度 21

2.3.3 牛顿下山法 22

2.4 弦截法（割线法） 23

2.5 埃特金（Aitken）迭代法 24

习题二 25

第3章 线性代数方程组的解法 27

3.1 简单迭代法的一般形式 27

3.2 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 29

3.3 超松弛（SOR）迭代法 33

3.4 顺序高斯消去法 34

3.4.1 顺序高斯消去法的计算过程 35

3.4.2 顺序高斯消去法的适用条件 38

3.5 选主元高斯消去法 39

3.6 用消去法计算行列式和逆矩阵 41

3.7 追赶法 42

3.8 三角分解法 43

3.8.1 矩阵的三角分解 43

3.8.2 用三角分解法解方程组 45

3.9 线性方程组的最小二乘解 48

3.1 0方程组的性态及条件数 49

习题三 50

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算 54

4.1 幂法和反幂法 54

4.1.1 幂法 54

4.1.2 Aitken加速技术 56

4.1.3 反幂法 57

4.2 QR方法 58

习题四 59

第5章 插值法和曲线拟合 61

5.1 插值法的基本理论 61

5.1.1 插值问题及代数多项式插值 61

5.1.2 插值多项式的误差 62

5.2 拉格朗日插值多项式 63

5.2.1 线性插值 63

5.2.2 二次插值 64

5.2.3 n次拉格朗日插值 65

5.3 牛顿均差插值多项式 66

5.3.1 均差概念及计算 66

5.3.2 牛顿型插值多项式 67

5.3.3 差分及等距基点的牛顿插值公式 69

5.4 三次Hermite插值 70

5.5 三次样条插值 73

5.5.1 三次样条插值函数的概念 73

5.5.2 三弯矩法 74

5.5.3 三转角法 77

5.6 B样条曲线 77

5.6.1 B样条函数 77

5.6.2 B样条曲线 78

5.7 曲线拟合的最小二乘法 81

习题五 84

第6章 数值积分 87

6.1 数值积分公式的构造和它的代数精度 87

6.2.1 公式的构造 89

6.2 牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 89

6.2.2 几个低阶求积公式 90

6.3 复合求积公式 93

6.3.1 复合梯形公式及其误差 93

6.3.2 复合抛物线公式及其误差 94

6.4 龙贝格（Romberg）求积法 95

6.4.1 变步长的梯形公式 95

6.4.2 龙贝格（Romberg）求积公式 96

6.5 高斯（Gauss）求积公式 98

6.5.1 高斯（Gauss）求积公式的定义 98

6.5.2 高斯（Gauss）求积公式的构造 98

6.6 数值微分 100

6.6.1 中点方法 100

6.6.2 插值型求导公式 101

习题六 102

第7章 常微分方程数值解法 104

7.1 数值解法的构造途径 104

7.1.1 用差商代替导数 104

7.1.2 数值积分法 105

7.1.3 泰勒（Taylor）级数法 105

7.2 欧拉法和改进的欧拉法 106

7.2.1 欧拉（Euler）法 106

7.2.2 欧拉法的局部截断误差 108

7.2.3 改进的欧拉法 109

7.3 龙格－库塔（Runge-Kutta）法 110

7.3.1 二阶龙格－库塔公式 110

7.3.2 三阶和四阶龙格－库塔公式 111

7.4 单步法的收敛性和稳定性 112

7.4.1 单步法的收敛性 113

7.4.2 单步法的稳定性 114

7.5 线性多步法 115

7.5.1 阿达姆斯外插公式 115

7.5.2 阿达姆斯内插公式 116

7.5.3 阿达姆斯预测－校正公式 117

7.6 一阶常微分方程组与高阶方程 118

7.6.1 一阶常微分方程组 118

7.6.2 高阶常微分方程 119

习题七 120

附录A 实验参考程序 122

附录B 用MATLAB进行数值计算 134

附录C 部分习题答案 146

参考文献 150